Matemática descomplicada

"Matemática é difícil", "Não me dou bem com números", "Tudo bem, não vou ser engenheiro mesmo" são apenas alguns dos argumentos para justificar essa comum antipatia à matemática. E já adianto que são todos inválidos. "Eu tenho discalculia"... ok, não estava esperando por esse, mas vou abordar o tópico em outro post.

Por hora vamos tentar entender como uma pessoa adquire um profundo desgosto pelas ciências exatas em geral — sendo a matemática a mãe de todas as dores de cabeça. Ao mesmo tempo tentamos estabelecer o que realmente é a matemática e destruir mitos envolvendo a matemática.

O que é matemática?

Por que todos os argumentos acima são inválidos? Simplesmente por que quem os faz acha que um sujeito formado em Exatas passa os dias usando Bhaskara para resolver equações de segundo grau complicadíssimas, cheias de frações, números complexos e sabe-se lá mais o que. Ora, sendo Bhaskara um algoritmo claro e eficiente, por que não simplesmente montar um programa de computador que faça isso? E mais: sendo a matemática um modelo abstrato, qual é sua utilidade se ninguém entende uma equação?

Aí está a palavra-chave: modelo. A matemática não é um fim, porém um meio para atingir os objetivos do homem. Quais são esses objetivos? Resolver problemas. Que tipo de problemas? Todos. Resolver equações de segundo grau não é um problema; descobrir um método de resolver toda e qualquer equação do tipo sim.

Essencialmente não há nenhuma diferença entre o problema acima e uma pergunta como "O que fica mais barato: levar dois amigos ao cinema uma vez, ou levar um amigo ao cinema duas vezes?" (fonte). Embora seja evidente a diferença de complexidade, uma não é desprezível em relação à outra. São igualmente problemas que podem ser solucionados pelas ferramentas oferecidas por modelos matemáticos.

Acho que já deu para perceber que estou reforçando bastante a ideia de modelo, certo? Não é para menos. Assim como a física, a matemática é um conjunto de conhecimentos não necessariamente imutáveis que ajudam a quantificar fenômenos e solucionar problemas. Parece complicado, mas o primeiro passo para entender a matemática é essa compreensão. Antes dos cálculos vem o problema.

"Há muito quem confunda tabuada com matemática", citação de Agostinho da Silva (pintura por Carlos Botelho).

Resolvo problemas diariamente sem matemática

O fato de não utilizar números não significa estar livre da matemática. Quer um ótimo exemplo? Algoritmos. Eles estão em todos os lugares: quando algo depende de decisões, pode ser resumido como um conjunto de instruções e/ou permite muitos caminhos distintos.

Suponha que você e alguns amigos estejam de férias em algum país estrangeiro e decidem se separar em um ponto turístico qualquer. Qual é o modo mais rápido de passar por todos os pontos turísticos e retornar ao ponto inicial, onde reencontrará seus amigos? Acredite ou não, esse é um problema matemático/computacional muito estudado ainda hoje e é conhecido como o problema do caixeiro viajante.

Similarmente, o conceito de número negativo começa a ficar claro quando se introduz a ideia de débito. Quanto a números complexos... bem, isso fica para outro dia, mas leiam mais sobre isto aqui. A ideia básica é que todo problema pode ser abordado de forma matemática, simplesmente porque ela foi feita exatamente para isso!

E onde as equações/funções/whatever entram nos problemas?

Se a matemática é um modelo sujeito a convenções, podemos facilmente conceber novos conceitos para nos auxiliar; e foi exatamente o que o homem fez ao longo do tempo. Vejam os problemas de contagem, por exemplo. Se 6 amigos decidem sentar-se em 6 cadeiras de uma fileira no cinema, de quantos modos a distribuição pode ocorrer? Pensando um pouquinho chegamos à conclusão de que a resposta é 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 possibilidades.

Dessas 720 distribuições, em quantas Joãozinho está na primeira cadeira? Em 1 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 delas. Imaginem então se fossem apenas 3 cadeiras? Para facilitar nossa vida, que tal criar a noção de fatorial? Desse modo, há 6! = 720 distribuições, sendo que em 5! = 120 delas Joãozinho se encontra na primeira cadeira.

Generalizando, sabe-se também que a permutação de n elementos em n é dado por n!, o que é útil para qualquer problema envolvendo permutações simples e nos ajuda a compreender outros tipos de distribuição. É basicamente isso. O fatorial nasceu da necessidade de expressar multiplicações sucessivas, não em um passe de mágica ou porque alguém arbitrariamente determinou.

Lembram-se quando eu disse "antes dos cálculos vem o problema"? Similarmente, o mais importante em análise combinatória não são as fórmulas ou a notação de fatorial, porém a necessidade de resolver problemas de contagem.

E que tal fatoração, aqueles teste de paciência que você odiava fazer no ensino fundamental? Querendo ou não lidamos com números em situações corriqueiras, principalmente quando lidamos com dinheiro. Considere, por exemplo, que você precise multiplicar 210 por 50. Antes de pegar na calculadora, considere que 210 = 21 * 10 e 50 = 5 * 10. Assim, 210 * 50 = (21 * 5) * 100 = 105 * 100 = 10.500. Aí está.