Geometria fractal

Fractais são um tópico muito fascinante interligados a diversas áreas do conhecimento: matemática, computação, biologia, sismologia e outras. Mas também podem ser utilizados na arte para gerar belas imagens como a acima ou, por que não, até mesmo música (!!!). Vamos tentar ver o que seria a geometria fractal, suas principais aplicações e ao mesmo tempo descobrimos uma utilidade àqueles tais de números complexos.

Fractais: conceitos

Fractais são figuras geométricas, mas não da geometria clássica (euclidiana); tratam-se de objetos autossimilares, isto é, cada parte em que se divide um fractal é semelhante ao objeto original. Além da autossimilaridade, já mencionada, 2 outros conceitos são importantes para estudar fractais: processos iterativos e números complexos.

Quem já teve contato com programação deve conhecer processos iterativos como laços ou loops, ou seja, instruções executadas repetidamente. Similarmente, para gerar fractais entramos com um valor em uma determinada equação/função. Obtemos o resultado e colocamos esse valor de volta na fórmula. Procedemos repetidamente até atingir o número de iterações desejado. Observem melhor com a seguinte animação da curva de Koch:

Dois dos fractais mais famosos, o conjunto de Julia e o conjunto de Maldelbrot, nasceram da observação de processos iterativos com números complexos. Aliás, é atribuída ao matemático polonês Benoit Mandelbrot a autoria do termo "fractal". Na década de 1960, Maldelbrot deparou-se com sistemas caóticos em suas pesquisas e a dificuldade em prever o comportamento desses problemas de natureza aleatória.

Vendo que a geometria euclidiana não conseguia explicar vários fenômenos naturais (nuvens e montanhas, por exemplo), Maldelbrot desenvolveu o início de uma geometria fracionada para calcular o grau de irregularidades de um objeto. Observou que os padrões irregulares permaneciam frequentes em diferentes escalas e frequências, utilizando os computadores da IBM como ferramentas de cálculo e que representassem graficamente os fractais.

Com o avanço dos computadores, foi possível não apenas dar cor às imagens, como também gerar animações e transformar os resultados em notas musicais (mais detalhes aqui). Isso abriu brechas a muitas possibilidades com fractais na arte, e é agora que chegamos à...

Arte fractal

Os fractais são artifícios utilizados quando se quer oferecer um maior senso de pareidolia à obra, isto é, oferecer figuras sem uma forma específica de modo que a mente de cada um se encarregue de dar sentido à imagem e formar algum sentido. É como quando fazemos aquela brincadeira de observar as nuvens e dizer com que se parecem, quando na verdade são apenas projeções criadas pelo cérebro humano a partir de um vago estímulo.

Apesar disso, fractais nasceram justamente buscando descrever a natureza, não sendo necessariamente apenas figuras abstratas. Por exemplo, árvores e samambaias são pseudo-fractais e podem ser modelados em computadores com processos iterativos, o que torna os fractais ainda mais fascinantes. O mesmo pode ser aplicado a superfícies de montanhas.

Outras características são a imprevisibilidade, pois o artista não sabe ao certo o resultado final, e uma maior interatividade com o público, pois qualquer um com os parâmetros originais pode alterar a forma gerada à vontade e produzir mais arte.

Fractais e computação

Em simuladores e jogos, a geração de figuras caóticas como nuvens e terrenos é um assunto de estudo muito abordado. Existem algoritmos muito úteis e relativamente simples para gerar um fractal, baseados em procedimentos iterativos. Neste link você confere um algoritmo que gera fractais do conjunto de Julia e o de Maldelbrot a partir da função f(z) = z² + C, onde z e C são complexos e C é constante.

O Wolfram Alpha permite que você selecione o valor de C para plotar o fractal calculado.

Outras aplicações

As próprias origens da geometria fractal demonstram em que tipo de contexto podem ser utilizados: sismologia e sistemas dinâmicos no geral, além dos usos na arte, música e computação gráfica já mencionados. Mais exemplos incluem:

Galáxias

Crescimento bacteriano

Economia

Anatomia humana

Reações químicas

Fontes

Fractal
Geometria fractal e aplicações
Teoria do Caos e Arte Fractal
Fractal Applications
Fractals
Introduction to Fractals