Assuntos da OBM/OBMEP

Pois é, OBM se aproximando e não falta tanto tempo até a primeira fase da OBMEP (veja o calendário aqui), então pensei em compilar os principais tópicos e alguns links para ajudar nas olimpíadas. Deve ser útil tanto àqueles buscando uma revisão quanto aos que querem se preparar para o ano que vem. A Olimpédia também pode servir como um guia, embora ainda esteja em construção.

Álgebra básica

Parece bobo, mas mesmo em fases avançadas de olimpíadas, saber como reescrever expressões algébricas pode salvar sua vida. Falo dos produtos notáveis:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x - y)² = x² - 2xy + y²
... etc.

Nesta página você confere tudo o que precisa saber de importante desta parte e neste artigo da Eureka pode praticar com alguns problemas. Também não podemos nos esquecer de uma desigualdade bem importante. Sejam n inteiros positivos a1, a2, a3,..., an, temos que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica se e somente se os números forem iguais. Colocando em linguagem matemática:

$$ \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n} $$

Teoria dos números

Este vai ser curto porque já escrevi sobre o tópico aqui, mas é sem dúvidas muito importante — e interessante também — nas olimpíadas de matemática. Indiretamente você usa vários conceitos de teoria dos números na OBMEP, mas não é necessário estudar a fundo se este for seu foco. Confira os assuntos principais e links no post mencionado.

Provas matemáticas e lógica

Este aqui é meio opcional porque, de qualquer forma, você será introduzido a diversas demonstrações e inclusive terá que provar algumas coisas por si próprio. Mas recomendo por 2 motivos principais: mesmo sendo o "às" da matemática, não adianta nada se você não souber organizar seu raciocínio e por consequência ninguém conseguir entendê-lo; e de início a linguagem matemática pode assustar os desacostumados, então é útil desenvolver a dita "maturidade matemática" para complementar o estudo.

Em particular, a OBMEP gosta de cobrar questões de lógica matemática, o que por sua vez auxilia bastante na compreensão e elaboração de provas matemáticas.

• Assuntos:

- Lógica matemática: declarações, quantificadores, conectivos...;
- Conceitos: teoremas, corolários...;
- Tipos de prova: direta, por contraposição, por contradição;
- Indução matemática.

• Links:

- Lógica Matemática - Provas
- Elementos de Lógica Matemática
- Book of Proof (ótimo e-book introduzindo não apenas lógica e provas como conceitos auxiliares)

Combinatória e Probabilidade

É comum confundir Combinatória com Análise Combinatória, mas a primeira engloba um ramo geral da matemática que analisa estruturas e relações discretas; outro sub-tópico importante da Combinatória é a Teoria dos Grafos, muito estudada em computação. Atrelada à Combinatória, em particular à Análise Combinatória, está a Probabilidade, que não cai com tantos detalhes quanto em vestibulares, mas é bom estudar.

Os interessados apenas na OBMEP podem ver apenas a parte de Análise Combinatória — embora o princípios aditivo e multiplicativo bastam para resolver a maioria dos problemas. Enfim, consultem meu post anterior sobre Análise Combinatória para conferir sugestões de aulas bem abrangentes.

Geometria e Trigonometria

Para a OBMEP não há muitos segredos: um pouco de Tales aqui, um Pitágoras ali, uma dose de criatividade e está feito. Há, entretanto, vários problemas de geometria que podem ser resolvidos através de alguns teoremas e identidades fundamentais da trigonometria na OBM — podendo inclusive aparecer em questões "puramente" algébricas! Se quiser se aprofundar um pouco mais no assunto, veja o post Trigonometria: teoria e exercícios.

• Assuntos:

- Geometria plana: teoremas, ângulos, áreas, circunferências...;
- Geometria espacial: noções fundamentais, poliedros, relação de Euler;
- Pontos notáveis no triângulo: baricentro, ortocentro, incentro, circuncentro;
- Trigonometria no plano e no ciclo: relações, identidades, arco duplo...;
- Quadriláteros inscritíveis.

• Links:

- Geometria espacial
- Círculo, Circunferência e Arcos
- Circunferências
- Pontos Clássicos
- Trigonometria
- Quadriláteros e triângulos
- Trigonometria e desigualdades em problemas de olimpíadas