Números mágicos

A matemática é cheia de pequenas gracinhas que entretêm alguns e simplesmente irritam outros. Não basta ter números primos, quadrados perfeitos, pares, ímpares... não seria legal ter um número composto só de 1's? Beleza, que seja um repunit. Sim, pelo visto esse pessoal realmente não tem mais o que fazer.

Para o bem ou para o mal, há muitos números com propriedades interessantes que sempre aparecem em competições de matemática ao redor do globo. Por quê? Por serem legais, oras. Neste post vou abordar alguns deles, então sinta-se livre para contribuir com seus números. Ah, e se estiver interessado no assunto, sugiro dar uma olhada no Project Euler, um site com desafios matemático-computacionais que frequentemente envolve "números mágicos".

Repunits - !!!!!11111ONEONEONE

Conforme introduzido acima, repunits são números da forma 111...1, ou seja, que só contêm o algarismo 1. Daí o nome repunit, que vem de repeated unit. Na base decimal, podemos escrever um número repunit com k algarismos do seguinte modo:

$$ \frac{99...9}{9} = \frac{100...0 - 1}{9} = \frac{10^k - 1}{9} $$

Claro que se quisermos um número formado apenas por k algarismos 2, basta multiplicar a expressão por 2. Isso abre brechas a situações muito interessantes, como o seguinte problema:

(OBM 2007) Sejam p, q e r inteiros, p > 0, tais que pX² + qX + r é um repunit sempre que X é um repunit. Qual dos valores a seguir é um possível valor de q?

A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2

Tente resolvê-lo ;P

Números poligonais - Construindo o mundo com aritmética

Não deve ser um segredo a esta altura que os gregos valorizavam a razão como ferramenta fundamental para a construção do mundo. Particularmente, encontramos em Pitágoras a máxima que conduz o pensamento do matemático grego: "Tudo é número". E o cara não estava brincando quando dizia isso; ele acreditava que qualquer forma real nada mais é do que uma representação de números, de uma forma ou outra.

Os números poligonais são um ótimo exemplo disso. Um número n é dito poligonal se podemos dispor n pontos para formar um polígono regular qualquer. Se acha estranha a ideia é porque já se esqueceu dos números poligonais mais relevantes no nosso dia-a-dia! Sim, estou falando dos números quadrados, também conhecidos como quadrados perfeitos.

Hoje em dia chamamos um inteiro n de quadrado perfeito se existe um inteiro x de tal modo que x * x = n, ou x² = n. O que nem todo mundo sabe é que a aproximação dos gregos era puramente geométrica, pois para eles o mesmo inteiro n era simplesmente um número quadrado porque formava um quadrado de dimensões x por x. Como? Veja a imagem abaixo com os 5 primeiros números quadrados:

Por: Aldoaldoz.

Similarmente, temos os números triangulares, pentagonais e hexagonais, por exemplo. O problema clássico envolvendo esses números é encontrar uma forma eficiente para determinar qual será o próximo número da sequência. Tal questão é explorada no problema 12 do Project Euler.

Números cíclicos - A redundância matemática

Números cíclicos são inteiros que, quando multiplicados por inteiros sucessivos, geram números com os mesmos algarismos, porém ordem em diferente. Ou seja, quando multiplicados por sucessivos inteiros, geram números com os mesmos algarismos, porém em diferente ordem; esses são números cíclicos, inteiros. Por exemplo:

142857 * 2 = 285714
142857 * 3 = 428571
142857 * 4 = 571428
142857 * 5 = 714285
142857 * 6 = 857142

Dizemos, portanto, que 142857 é um número cíclico. Leia mais sobre o assunto neste artigo da revista Eureka.

Primos circulares - Primos até o fim!

Estes números aparecem no problema 35 do Project Euler. Traduzindo:

O número 197 é chamado primo circular porque todas as rotações dos dígitos (197, 971 e 719) são primos. Há 13 primos abaixo de 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79 e 97. Quantos primos circulares há abaixo de um milhão?

Vou deixar a resposta por conta de vocês. Uma dica: como é a intenção do Project Euler em todos os problemas, pense em modos de reduzir o tempo de processamento ao invés de simplesmente usar força bruta.

Números felizes - Aqueles que riem à toa

A definição é um pouco complicada, mas fica mais claro com exemplos. Seja F(n) a soma dos quadrados dos dígitos do inteiro n. Repetimos o processo, fazendo F(F(...(n)...)). Se eventualmente chegarmos a 1, dizemos que n é feliz. Caso contrário, entraremos em um loop infinito e nunca chegaremos a 1, pobrezinho; esses coitados são números tristes, portanto. Por exemplo, vemos que 7 é feliz, pois:

7² = 49
4² + 9² = 97
9² + 7² = 130
1² + 3² + 0² = 10
1² + 0² = 1

Em contrapartida, 25 não tem a mesma sorte:

2² + 5² = 29
2² + 9² = 85
8² + 5² = 89
8² + 9² = 145
1² + 4² + 5² = 42
4² + 2² = 20
2² + 0² = 4
4² = 16
1² + 6² = 37
3² + 7² = 58
... e por aí vai.

Percebemos 2 fatos interessantes da definição: se 7 é feliz, então 49, 97, 130 e 10 também o são; da mesma forma, se 25 é triste, 29, 85, ..., 58 também o são. Pense nisso para provar que existem infinitos números felizes. Outro detalhe é que, se você continuar o ciclo que parei acima, eventualmente voltará ao 4. Assim, é possível verificar que todo número infeliz vai chegar a 4 e então entrar em um loop e nunca chegar a 1.

Extra: raízes digitais

A raiz digital de um número é obtida somando seus dígitos, até que essa soma seja um número de um único dígito. Por exemplo, a raiz digital de 1982 é 3, pois:

1 + 9 + 8 + 3 = 21
2 + 1 = 3

Mas será que não chegaremos a uma situação parecida com a de um número triste, isto é, repetir o processo indefinidamente sem chegar a um resultado? Bem, fica aí a questão: a raiz digital é definida para qualquer inteiro? Dica: note que a raiz digital de qualquer número com 1 dígito é ele mesmo, e esse valor permanece constante por mais que você tire a raiz.

Esbarrei nesse conceito no game para Nintendo DS 999: Nine Hours, Nine Persons, Nine Doors, um adventure que envolve a resolução de diversos puzzles para avançar na trama. Na maior parte do tempo os próprios personagens fazem as contas envolvendo raízes digitais, mas, sendo uma trama de mistério, é importante ficar atento a todos os detalhes. Super recomendado para quem gosta de enigmas!

Fontes

Domingo regado a repunits
Project Euler
Números poligonais
Números mágicos e contas de dividir
Confira como encontrar um número feliz
Digital root