Um filósofo, uma tartaruga, muitos infinitos

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Lembram-se do meu post sobre paradoxos, no qual argumento que paradoxos podem ser o início de uma profunda reflexão à respeito do que sabemos sobre alguma coisa? Pois bem, vamos analisar aqui alguns dos principais representantes dessa categoria de dilemas: os paradoxos de Zenão. Mais especificamente, veremos como o filósofo lida com o infinito e como os filósofos, matemáticos e físicos desde então vêm buscando abordar esse conceito.

Afinal, o infinito existe ou é apenas uma abstração matemática?

Os paradoxos do movimento

Na Grécia Antiga, havia um sujeitinho que gostava de provocar o pensamento de muitos de sua época através de situações absurdas que expunha as falhas no raciocínio: Zenão de Eleia. A ele são atribuídos diversos paradoxos, entre os quais se destacam os paradoxos do movimento. Infelizmente, tudo o que sabemos sobre esse filósofo saiu da boca de outros, mas mesmo assim podemos recuperar alguns de seus argumentos. Vamos a eles!

• A dicotomia: Um corredor precisa percorrer um trajeto de extensão qualquer; podemos supor 50 metros. Mas antes de correr os 50 metros, logicamente, ele precisa correr 1/2, 25. Prosseguindo o raciocínio, antes de 1/2 ele precisa percorrer 1/4, e então 1/8, 1/16, 1/32, ... ao infinito. Portanto, ele nunca percorrerá os 50 metros.

• A tartaruga prodígio: Este é famoso. Aquiles decide competir com uma tartaruga e, para tornar as coisas mais justas, dá uma vantagem de, suponhamos, 50 metros ao animal. Se Aquiles quiser ultrapassar o competidor, primeiro precisa percorrer o caminho que ele percorreu. Aquiles primeiro corre 50 metros, mas a tartaruga percorreu 0.9 metros nesse intervalo; agora Aquiles precisa correr 0.9 metros, enquanto a tartaruga já terá se distanciado mais um pouco, e assim repetidamente. Portanto, Aquiles nunca alcançará a tartaruga, havendo sempre um espaço entre eles.

• O estádio: O texto de Aristóteles à respeito deste paradoxo é um tanto críptico e provavelmente errôneo, mas vamos a uma possível reconstrução. Considere o tempo e o espaço cada um composto por várias unidades bem definidas: 0, 1, 2, ... . Imagine dois dardos movimentando-se em direções opostas com mesma velocidade, estando um acima do outro, no instante t = 0. No próximo instante, t = 1, cada um movimenta-se 1 unidade à frente, e portanto possuem duas unidades de espaço emparelhadas. Mas para chegar nessa situação, eles precisariam ter antes 1 unidade de espaço emparelhada, o que ocorreria no instante t = 0.5. Mas esse instante não é uma unidade válida! E mais: nesse tempo, cada dardo teria que ter percorrido um espaço de 0.5!

• A flecha: Vamos supor agora que o tempo e espaço são contínuos, ou seja, há apenas momentos ("agoras") e nada mais. Uma flecha foi disparada por um arqueiro e, se capturarmos um momento qualquer, ela estará em repouso. Mas o tempo consiste apenas desses momentos, então a flecha sempre está em repouso.

Respostas aos paradoxos e a noção de infinito

Como discípulo de Parmênides, Zenão defendia as ideias do mestre de que o universo é imutável e o que nossos sentidos percebem são apenas uma forma de ilusão. Ele era contrário à dita pluralidade de movimento, e tentava validar seu ponto de vista assumindo que a pluralidade de movimento existe. Mas se continuarmos o raciocínio, veremos que essa premissa leva a resultados absurdos. É o tal reductio ad absurdum, redução ao absurdo.

Uma tentativa de contra-argumentar seria fazer como Diógenes e simplesmente levantar e andar, mostrando que o movimento existe, mas não basta. É inútil apontar um cenário mais fácil no qual não há problemas. Se Zenão utilizou o raciocínio lógico adequadamente, então é necessário mostrar por que o cenário apresentado possui problemas.

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Uma observação que você, estudante do século XXI, poderia levantar à respeito dos paradoxos de Aquiles e da dicotomia é o fato de que ter uma soma infinita não necessariamente leva a um número infinito. Em particular, de nossos estudos sobre progressões geométricas e limites sabemos que

1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1

Mesmo assim, ainda sobra espaço para dúvidas: estamos assumindo que Aquiles percorre 1/2 do caminho sem problemas, depois mais 1/4, 1/8, 1/16... sucessivamente. Mas e entre o início do percurso e 1/2? É mesmo válido somar as distâncias assim? Além disso, a noção matemática de limites é determinar o que acontece quando um parâmetro tende a algum valor, sem necessariamente assumir seu valor. Você pode sim calcular o limite de 1/x quando x tende ao infinito, mas não significa que x seja infinito.

E, claro, só beeeem depois de Zenão é que pudemos realizar esse cálculo em primeiro lugar. Como o infinito foi tratado pela matemática desde então e de que modo podemos usá-la para resolver os paradoxos?

O infinito na matemática

Acredite se quiser, mas por muito tempo os próprios matemáticos demonstravam pouco entusiasmo com a ideia de infinito. Era coisa de marxista filósofo que não tinha o que fazer, algo mais próximo de ficção científica do que matemático. Para romper esse paradigma de séculos só mesmo um "doido" chamado Georg Cantor, fundador da teoria dos conjuntos.

As contribuições de Cantor foram fundamentais no desenvolvimento da matemática e acendeu discussões no campo de filosofia matemática, pois reconhecia o infinito como objeto de estudo através de seus números transfinitos. O que essa figura fez foi estabelecer conjuntos finitos e infinitos, bem como suas propriedades. Em particular, é possível olhar a questão de Aquiles com novos olhos.

Aquiles encontra-se no ponto 50, enquanto a tartaruga está no ponto 50.9 e locomovendo-se continuamente. A partir daí, Zenão propõe que o corredor precisa passar por todos os pontos: {50, ..., 50.9, 50.99, 50.9999, ...}. Ora, a própria proposição implica na impossibilidade de ultrapassagem: o ponto de ultrapassagem não está no conjunto, então é claro que Aquiles nunca realizará sua tarefa.

Entretanto, conforme aumentamos o número de 9's, aproximamo-nos cada vez mais de 51, assim como 0.999... = 1. Portanto, o conjunto é finito (mas incontável) e Aquiles pode sim ultrapassar a tartaruga passando pelo conjunto de pontos: {50, ..., 51}.

Ironicamente, Cantor enfrentou críticas talvez comparáveis à de Zenão pela comunidade matemática. No século XIX, havia fortes correntes matemáticas que eram contra essa baboseira de infinitos. Em particular, Kronecker era um representante do construtivismo, o qual exigia demonstrações construtivas para validar um teorema. E não se pode mostrar o infinito.

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Aí está uma das distinções mais proeminentes entre a matemática e uma ciência propriamente dita: enquanto esta baseia-se em observações e elabora modelos com base neles, aquela infere propriedades a partir de algumas premissas conhecidas. Por exemplo, suponha a seguinte questão: "Demonstre que nem todos os inteiros possuem a forma 2b + 1, sendo b um inteiro".

Uma demonstração construtiva seria algo como "Note que o número 4 pode ser escrito na forma 2a, onde a = 2". Efetivamente mostramos um objeto com a propriedade desejada. Mas outra demonstração possível, e particularmente mais útil, seria "Considere dois inteiros x e y, representados respectivamente por 2a + 1 e 2b + 1, para a e b quaisquer. Note que x + y = 2a + 1 + 2b + 1 = 2a + 2 = 2(a + 1). Esse número é da forma 2c, sendo c = a + 1, portanto, é impossível que hajam apenas números da forma 2b + 1.".

Na prova não-construtiva, não mostramos um único objeto com as propriedades desejadas, mas deduzimos que há vários números pares. E mais ainda, pois provamos como obtê-los: somando números ímpares. Claro, para os matemáticos é maravilhoso poder deduzir propriedades a partir do puro raciocínio lógico, mas isso não representa um obstáculo em seu uso nas ciências? Será que o mundo é mesmo matemático?

As incompatibilidades entre matemática e física

Os paradoxos podem ser resolvidos com a matemática moderna, mas o que a física tem a dizer sobre eles? Nada, em absoluto. Acontece que enquanto os matemáticos antigamente não aceitavam um tratamento formal do infinito, os físicos simplesmente deixavam — e ainda deixam — "pra lá". Em 1948, por exemplo, os físicos utilizaram métodos de explicar a eletrodinâmica quântica sem levar em conta grandezas infinitas previamente consideradas. Isso mesmo, tiraram o infinito porque atrapalhava.

Algo interessante é que, quando alguns filósofos do início do século XX tentaram resolver de uma vez por toda os paradoxos de Zenão, eles fizeram considerações não apenas matemáticas, mas físicas. Na prática, não faz sentido acreditar que o espaço é composto por infinitos pontos e portanto você pode ficar "dando zoom" e nunca chegará ao final, como de certa forma propõe Zenão.

Para Euclides, uma reta é formada por infinitos pontos. Para um físico, Euclides deveria continuar com seus rabiscos e calar a boca.

De fato, foi de tanto "dar zoom" que chegamos à mecânica quântica, e muitas de suas propriedades são discretas e não contínuas. Temos cada vez mais motivos para acreditar na discretização do tempo-espaço: aí entram teorias como a gravidade quântica em loop e a teoria das supercordas.

Mas por que esse ódio ao infinito? Porque não funciona, não é útil. Não podemos nos esquecer que a física trata de modelos para explicar os fenômenos que acontecem ao nosso redor. Através deles, podemos prever, quantificar e talvez até modificá-los. Em primeiro lugar, como já disse, não se observa o infinito de jeito nenhum. O observável é mensurável, finito. Em segundo, se um sistema é descrito por grandezas infinitas, é impossível dizer o que acontece antes, depois, ou se é que acontece alguma coisa. Nossas leis não foram feitas para lidar com o infinito.

Conclusão

Embora os paradoxos de Zenão não ofereçam empecilhos ao desenvolvimento da matemática e física, é inegável seu papel nas discussões que podem mudar os rumos de nosso entendimento sobre o universo — embora não tenha sido a intenção de seu criador. Vemos como nossa compreensão sobre os fenômenos ao nosso redor pode mudar e o papel ainda muito evidente da filosofia na ciência.

Agradecimentos

Agradeço à contribuição de um leitor anônimo no post "O que é paradoxo?", por ter divulgado um artigo bem legal sobre este assunto que me motivou a escrever sobre ele. Participe você também!

Fontes

Filosofia da física clássica - Cap. III
Georg Cantor - Wikipedia, the free encyclopedia
Infinito e a pesquisa científica
Infinito, esse troço que não acaba - Superinteressante
Zeno's Paradoxes (Stanford Encyclopedia of Philosophy)