Geometria analítica - noções primordiais

A união de geometria e álgebra na forma da geometria analítica fornece ferramentas muito úteis na resolução de diversos problemas. É uma das bases da computação gráfica e tem funções fundamentais na física, mais notadamente em mecânica. Infelizmente, pode também ser um tópico bem cansativo no ensino médio devido à grande quantidade de fórmulas, mas não precisa ser assim!

Vamos adotar uma abordagem intuitiva e voltada à resolução de problemas, tanto para quem nunca teve contato com o assunto como aqueles que precisam de um reforço.

Um ponto no plano

Antes de tudo, precisamos de uma maneira para representar sistematicamente qualquer objeto bidimensional. Geralmente usamos o sistema de coordenadas ortogonais, também chamado sistema de coordenadas cartesianas. O plano cartesiano é um plano no espaço cortado por duas retas perpendiculares:

O objeto mais primitivo deste plano é o ponto. Todo ponto é representado por P(x, y), onde o par ordenado (x, y) é uma coordenada, tal que:

• O parâmetro x pertence ao eixo horizontal, sendo chamado de abscissa do ponto.
• O parâmetro y pertence ao eixo vertical, sendo chamada de ordenada do ponto.

Isso já define a base de toda a geometria analítica, pois qualquer forma pode ser entendida como um conjunto de pontos que obedecem a uma restrição. Por exemplo, uma circunferência é o conjunto de pontos cuja distância ao ponto coincide com o raio.

Aliás, como calcular essa distância?

Distância entre dois pontos

É fácil determinar a distância quando os dois pontos encontram-se na mesma reta horizontal ou vertical:

Mas na verdade, essas são apenas situações particulares do caso geral, quando os pontos estão sobre uma reta inclinada:

Ora, quanto menor a inclinação horizontal ou vertical, mais a reta se aproximará de uma reta horizontal e vertical. Daí, usando o teorema de Pitágoras, somos capazes de determinar a distância entre dois pontos quaisquer, não importando suas posições relativas:

$$ d_{AB} = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2} $$

No caso acima, d = 5. É algo tão fácil de visualizar que não vale a pena se preocupar muito com a memorização: imagine dois pontos quaisquer, aplique o teorema de Pitágoras, e voilá!

Semelhança de triângulos e aplicações

Apenas como recordação, dois triângulos são semelhantes quando possuem os três ângulos congruentes e os lados proporcionais. Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois, então ela forma um triângulo semelhante ao triângulo original, como consequência do Teorema de Tales:

Na figura, os triângulos ABC e CEF são semelhantes. Esse fato é bastante útil em várias situações.

Ponto médio de um segmento

Dados dois pontos \(A(x_A, y_A), B(x_B, y_B)\), demonstre que as coordenadas do ponto médio do segmento AB, M, são \((\frac{x_A + X_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2})\). É uma simples aplicação da semelhança de triângulos na ilustração seguinte:

Alinhamento de três pontos

Demonstre que três pontos \(A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C)\) estão alinhados (na mesma reta) se, e somente se,

$$ \begin{vmatrix}
x_A & y_A & 1\\
x_B & y_B & 1\\
x_C & y_C & 1
\end{vmatrix} = 0 $$

Novamente, é preciso usar a semelhança de triângulos tanto para o eixo horizontal quanto vertical. Resolva o sistema e você chegará à forma desenvolvida desse determinante.

Coeficiente angular de uma reta

Uma reta forma um ângulo θ com o eixo das abscissas. O coeficiente angular m refere-se à tangente desta reta, que podemos obter a partir de dois pontos \((x, y), (x_0, y_0)\). Obtemos um triângulo retângulo cujos catetos são dados pelas diferenças entre as abscissas e ordenadas dos pontos, o que nos leva a:

$$ m = \frac{y - y_0}{x - x_0} $$

Equações de reta

Como mencionamos lá em cima, qualquer forma pode ser entendida como um conjunto de pontos que obedecem a uma restrição. No caso da reta, podemos formar várias equações de reta para descrevê-la, e esse assunto geralmente confunde alguns. Entre tantas formas, qual escolher?

Minha resposta: nenhuma. Não pense em "escolher" uma forma; use as informações que você tem para desenvolvê-la da maneira mais adequada à situação, recordando-se dos conceitos básicos. No final das contas, todas são apenas versões diferentes da mesma coisa e envolvem apenas aquilo que aprendemos até agora.

Exemplo 1 - Equação geral da reta

Não há muito o que dizer aqui. Toda reta é descrita na forma geral em função de x, y e uma constante:

ax + by + c = 0

Veremos como isso pode ser útil para deduzir algumas propriedades sobre uma ou mais retas a seguir. Mas antes, analisemos alguns casos gerais.

Exemplo 2 - Coeficiente angular

Sim, o próprio coeficiente angular pode ser útil para formular uma equação de reta. Como o ângulo não muda, é claro que o coeficiente angular não vai mudar. Daí, se fixarmos um ponto P(a, b), qualquer ponto (x, y) que esteja na reta deve obrigatoriamente obedecer à relação m = (y - b)/(x - b).

A maioria dos livros apresenta uma equação reduzida, que nada mais é do que essa exata expressão para um certo ponto de interesse. Esse ponto marca o cruzamento do eixo das ordenadas pela reta:

Substitua o ponto (0, n) na fórmula e expresse-a em função de y. Pronto, aí está a equação reduzida: y = mx + n.

Exemplo 3 - Condição de alinhamento

Mas e se você não tiver o coeficiente angular, como faz? Começa a chorar e entrega a prova? É uma alternativa, mas apresento outra: se você tiver dois pontos \(A(x_A, y_A), B(x_B, y_B)\) pertencentes a uma determinada reta, qualquer outro ponto dessa reta deve estar alinhado com A e B. Ou seja, basta usar a condição de alinhamento deduzida anteriormente:

$$ \begin{vmatrix}
x_A & y_A & 1\\
x_B & y_B & 1\\
x & y & 1
\end{vmatrix} = 0 $$

Exemplo 4 - Equação segmentária

Se uma reta intercepta o eixo das abscissas no ponto (a, 0) e o eixo das ordenadas no ponto (0, b), então

$$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 $$

constitui a equação segmentária da reta. Você pode demonstrá-la usando o coeficiente angular e substituindo-o na equação reduzida, ou simplesmente aproveitando a condição de alinhamento. Não recomendo memorizá-la, justamente porque é fácil chegar aos mesmos resultados com as outras formas.

Posições relativas entre duas retas

Até agora, resolver sistemas de equações não tinha um significado realmente especial: era só questão de localizar as soluções em comum. Mas as coisas mudam muito de figura quando essas equações representam formas geométricas, conforme descritas pela geometria analítica.

Se você tiver um sistema de duas equações do tipo ax + by + c = 0 (ou ax + by = c, que é a mesma coisa escrita de outra forma), resolvê-lo significa determinar a posição relativa entre duas retas. Como assim? Primeiro, vejamos um sistema:

$$ \begin{align*}
8x + 12y &= 6\\
2x + 3y &= 5
\end{align*}$$

... Que, já deve ter notado, não conseguimos resolver. Se multiplicarmos a segunda equação por -4 e somarmos:

0x + 0y = 6 - 20
0 = -14

Um absurdo, o que significa que o sistema não admite soluções. Agora note que, neste exemplo, temos duas retas descritas pelas equações 8x + 12y = 6 e 2x + 3y = 5. Olha só como elas estão dispostas no plano:

Por incrível coincidência, são retas paralelas, sem nenhum ponto em comum. A partir de um sistema, podemos determinar com precisão se duas retas quaisquer são paralelas (sem pontos em comum), coincidentes (todos os pontos em comum) ou concorrentes (um ponto em comum). No caso de retas concorrentes, podemos inclusive determinar em qual ponto as retas se cruzam.

E, claro, isso vale para qualquer forma expressa por uma equação e para qualquer número de objetos. Podemos lidar com três retas, uma reta e uma circunferência, duas circunferências, uma parábola, uma circunferência e uma reta...

Questões de geometria analítica: ponto e reta

No próximo post da série falaremos sobre outros objetos no plano além de retas e pontos, mas alguns tópicos foram e serão propositalmente deixados de fora. Meu objetivo aqui foi motivá-lo a aprender como visualizar situações e usar ferramentas da geometria analítica na resolução de problemas. Dominado o básico, fica fácil aprender o resto por conta própria (confira os links e livros abaixo). Agora é hora de praticar.

• (DANTE) Demonstre que os comprimentos das diagonais de um retângulo de lados a e b são iguais.

• (Ufam/PS) As equações das retas suportes dos lados de um triângulo são x - 3y + 3 = 0, x + 3y + 3 = 0 e x = 1. Esse triângulo é: a) isósceles e não retângulo, b) equilátero, c) escaleno, d) retângulo e não isósceles ou e) retângulo e isósceles? Resposta: a).

• Determine a tangente do ângulo agudo θ formado pelas retas r e s, de coeficientes angulares m e m', respectivamente (sugestão: utilize o teorema dos ângulos externos). Resposta: \(tg \theta = \left | \frac{m' - m}{1 + mm'} \right |\).

• Verifique as condições necessárias para que o ângulo formado por duas retas de coeficientes angulares m e m' seja reto, ou seja, as retas são perpendiculares (o raciocínio é parecido com o da questão acima). Resposta: mm' = -1.

• (IME) Escolhendo um sistema de coordenadas adequado, mostre que, em um triângulo retângulo ABC, retângulo em A, o comprimento da mediana AM é metade do comprimento da hipotenusa.

• (IEZZI) Provar analiticamente que o segmento cujas extremidades são os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à metade deste.

• (Fuvest-SP) As retas de equações x + y - 1 = 0, mx + y - 2 = 0 e x + my - 3 = 0 concorrem num mesmo ponto. Nessas condições, calcule o valor de m. Resposta: m = 4.

Fontes

Matematica Essencial: Geometria: Geometria Analítica
Matemática - Geometria Analítica
DANTE, Luiz Roberto. Matemática. São Paulo: Ática, 2011. Volume único.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática : contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2010. Volume 3.