Estudo de cônicas

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Dando continuidade ao post de introdução à geometria analítica, veremos agora um conjunto de curvas planas muito aplicado na física e outros ramos da matemática: as seções cônicas. O objetivo principal do texto é auxiliar na compreensão e visualização dos conceitos básicos visando a resolução de problemas.

Gerando cônicas

Antes de definirmos cônicas em termos analíticos, vamos tentar entender o que elas representam como formas geométricas. Você certamente conhece a circunferência, elipse e parábola, certo? Talvez também conheça a hipérbole:

Acontece que podemos gerar todas essas formas a partir de uma superfície cônica e um plano que a intersecta.

Elipse

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Quando um plano intersecta uma superfície cônica de modo que essa intersecção seja uma curva fechada, a forma resultante é uma elipse. A circunferência é um caso particular da elipse em que o plano é paralelo à base.

Parábola

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Quando o plano é paralelo a exatamente uma linha geratriz do cone, a intersecção é uma curva aberta chamada parábola.

Hipérbole

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Quando o plano é paralelo a duas linhas geratrizes, ele secciona as duas metades da superfície cônica e forma uma quarta curva: a hipérbole.

Definição de cônica

Uma das definições mais gerais de cônicas é: o lugar geométrico composto pelos pontos cuja distância a um ponto fixo, o foco, mantém uma razão constante em relação à distância entre esses pontos a uma reta, a diretriz. Algebricamente:

d(PF) = e * d(Pd)

Onde F é o foco, d é a diretriz e e é a excentricidade da cônica. Geometricamente, essa excentricidade nos informa o desvio da curva em relação a uma circunferência. Por exemplo, uma circunferência tem excentricidade zero, enquanto uma parábola tem excentricidade 1, e por aí vai.

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Equações de cônicas

Assim como uma reta tem a forma completa ax + by + c = 0, uma seção cônica é representada por:

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Contudo, como fizemos para o caso de retas, é conveniente reduzir essa forma completa a algum caso particular que torne nossa vida mais fácil na hora de resolver problemas.

Equação da circunferência

A definição analítica de circunferência é a mais imediata: dado um ponto P(x, y) pertencente a uma circunferência de centro \(C(x_0, y_0)\) e raio r, a distância de P a C é sempre igual a r:

$$ \begin{align*}

dPC &= r \\
\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} &= r \\
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 &= r^2
\end{align*} $$

Note que a circunferência é um caso particular da equação de uma cônica em que A = B = 1 e C = 0.

Equação da parábola

A parábola também é bem simples, se nos lembrarmos dos nossos estudos sobre funções de segundo grau:

y = ax² + bx + c (1)

Ou:

x = ay² + by + c (2)

A equação (1) é o caso mais tradicional de parábola, em que a "boca" da parábola fica na direção vertical, ou seja, é simétrica em relação ao eixo OY. Já a equação (2) é o que acontece quando a parábola é simétrica em relação ao eixo OX, visualmente representada por uma curva "deitada".

Note que, em relação à equação geral de uma cônica, temos C = 0 e A = 0 ou B = 0, dependendo do tipo da parábola. Também é importante notar que a excentricidade é sempre 1, já que a definição de parábola é justamente o lugar geométrico em que os pontos equidistam do foco e da diretriz: d(PF) = d(Pd).

Elipse

Uma elipse é constituída por todos os pontos cuja distância até um dos focos somada à distância do mesmo ponto ao outro foco é constante e igual a 2a, o que corresponde à distância entre os pontos \(A_1\) e \(A_2\) abaixo:

Geralmente, representamos uma elipse pela equação

$$ \frac{(x - x_c)^2}{a^2} + \frac{(y - y_c)^2}{b^2} = 1 $$

Onde \(C(x_c, y_c)\) é o centro da elipse e a² = b² + c².

Logo, é fácil ver que, neste caso, os coeficientes A e B sempre terão o mesmo sinal. Adicionalmente, a excentricidade é contida no intervalo 0 < e < 1.

Hipérbole

A hipérbole tem uma definição parecida com a da elipse, mas agora, ao invés de ser a soma das distâncias, é o módulo da diferença: \(\left | d(PF_1) - d(PF_2) \right | = 2a\):

A equação também é semelhante:

$$ \frac{(x - x_c)^2}{a^2} - \frac{(y - y_c)^2}{b^2} = 1 $$

Outra mudança é que, agora, c² = a² + b².

Para distinguir uma hipérbole de uma elipse, note que os coeficientes A e B têm sinais opostos e a excentricidade é menor que zero.

Identificando e construindo cônicas

É comum nos depararmos com uma equação quadrática qualquer e tentarmos concebê-la como uma seção cônica. Aí vem a pergunta primordial: como saber se é uma elipse, circunferência, parábola ou hipérbole? Bem, há algumas técnicas que podemos utilizar.

Método da comparação

Se você quiser simplesmente bater o olho na equação e classificá-la, o mais simples é analisar os coeficientes. Vamos a alguns exemplos práticos para entendermos como funciona.

a) x² + y - 3x + 9 = 0

Comparando com a equação completa, temos C = 0 e B = 0, então é fácil perceber que se trata de uma parábola. Para visualizarmos melhor, basta isolar o y:

y = -x² + 3x - 9

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b) x² + y² + 2x + 2y - 7 = 0

Tudo indica que se trata de uma elipse, já que A e B têm o mesmo sinal. Mas será que é uma circunferência? Vamos nos recordar novamente da forma reduzida da circunferência:

\((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\)

Mesmo se desenvolvermos a equação, nunca vai haver um termo Cxy, então C = 0. Adicionalmente, A = B = 1. Como essas condições se verificam na equação acima, concluímos que se trata de uma circunferência.

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c) x² - y² + 2x + 2y - 9 = 0

Sim, é praticamente a mesma equação acima, a única diferença é que A e B agora têm sinais opostos. Logo, concluímos com certeza que isso é uma hipérbole.

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d) 4x² + 9y² - 16x - 54y + 61 = 0

Verificamos que se trata de uma elipse, com A e B com mesmo sinal. Só que desta vez não é uma circunferência, pois A e B são diferentes de 1.

Determinantes

Se montarmos uma matriz com os coeficientes A, B e C da seguinte forma:

$$ M = \begin{pmatrix}
A & B/2\\
B/2 & C
\end{pmatrix} $$

Então podemos classificar a cônica de acordo com o determinante de M.

• Se o determinante for menor que 0, então é uma hipérbole.
• Se o determinante for igual a 0, então é uma parábola.
• Se o determinante for maior que 0, então é um elipse.
• Se o determinante for maior que 0, A = C e B = 0, então é uma circunferência.

Reduzir a equação

Os métodos acima são bem práticos, mas não ajudam muito se, além de identificarmos, quisermos construir uma cônica ou identificar seus elementos. Para tal, usamos o método de completar quadrados para reduzir a equação completa a um caso particular.

a) x² + y² + 2x + 2y - 7 = 0

O primeiro passo é agrupar os termos semelhantes e, quando possível, pôr o termo comum em evidência:

1(x² + 2x) + 1(y² + 2y) - 7 = 0

Claro que colocar o 1 em evidência é opcional e foi feito apenas para ilustrar o procedimento. Agora começa o método de completar quadrados:

1(x² + 2x + m) + 1(y² + 2y + n) - 7 = 0 + 1 * m + 1 * n

Queremos transformar os membros em quadrados perfeitos, então precisamos somar alguma coisa a x² + 2x e y² + 2y. Chamamos esses números de m e n. Só que, ao fazermos isso, estamos adicionando 1 * m + 1 * n no lado esquerdo da equação, então precisamos fazer a mesma coisa no lado direito. Se ao invés do 1 fosse um número qualquer k em evidência, então precisaríamos adicionar k * m + k * n.

Agora para completar o quadrado, fica fácil perceber que o 1 é uma boa escolha. Isso porque (x + 1)² = x² + 2x + 1. No fundo, o que fizemos foi dividir o coeficiente 2 por 2. Daí:

1(x² + 2x +1) + 1(y² + 2y + 1) - 7 = 0 + 1 + 1
(x + 1)² + (y + 1)² - 7 = 2
(x + 1)² + (y + 1)² = 9

Pronto, com isso já conseguimos identificar claramente uma circunferência e seus principais elementos: o centro C(-1, -1) e o raio 3.

Gráfico no Wolfram Alpha.

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b) x² - y² + 2x + 2y - 9 = 0

Vamos repetir o procedimento mostrado acima:

1(x² + 2x + _) - 1(y² - 2y + _) - 9 = 0 + _ + _
1(x² + 2x + 1) - 1(y² - 2y - 1) - 9 = 0 + 1 - 1
(x + 1)² - (y - 1)² = 9

Só que agora não se trata de uma circunferência, porém uma hipérbole, devido ao sinal negativo. Vamos então a um passo adicional: dividir tudo por 9, para que reste 1 do lado direito.

$$ \frac{(x + 1)²}{9} - \frac{(y - 1)²}{9} = 1 $$

Logo, a = b = 3 e o centro é C(-1, 1). Como c² = a² + b², c = \(3\sqrt{2}\).

Gráfico no Wolfram Alpha.

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c) 2x² + y + 4x - 9 = 0

No caso da parábola não precisamos passar por tantas etapas assim:

y = -2x² - 4x + 9

Já sabemos que a parábola é vertical e voltada para baixo. Para descobrirmos o vértice, basta calcular -b/2a = -1, que é o x do vértice, e substituir na equação para descobrir o y do vértice. Daí, obtemos V(-1, 11). Como as raízes da equação são \(-1 \pm \sqrt{\frac{11}{2}}\), então deduzimos os pontos em que a parábola intercepta o eixo x.

Gráfico no Wolfram Alpha.

Cônicas degeneradas

Um caso interessante que vale a pena mencionar são as cônicas degeneradas. Por exemplo, considere a equação de uma circunferência:

x² + y² = 0

Note que essa equação faz com que a circunferência se degenere a uma circunferência de centro (0, 0) e raio zero, ou seja, o ponto (0, 0). Similarmente, a equação de uma hipérbole:

x² - y² = 0

Corresponde a um par de retas concorrentes, como vemos no gráfico produzido pelo Wolfram Alpha.

Para não deixar o post mais extenso do que já está, deixo o estudo de degenerações para outro momento, podendo ser complementado pelos links abaixo.

Fontes

Conics - The Geometry Center
Conic section - Wikipedia
DANTE, Luiz Roberto. Matemática : contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2010. Volume 3.
Identifying Conics 1 - Khan Academy
Linear Systems of Conics - Adam Coffman
Matrix representation of conic sections - Wikipedia