Números detonadores
Um número natural A de três algarismos detona um número natural B de três algarismos se cada algarismo de A é maior do que o algarismo correspondente de B. Por exemplo, 876 detona 345; porém, 651 não detona 542 pois 1 < 2. Quantos números de três algarismos detonam 314?
A) 120 B) 240 C) 360 D) 480 E) 600
Um simples problema de análise combinatória, tópico muito recorrente nas olimpíadas. Também é cobrado em vestibulares, embora eu não saiba com quanta frequência, então é útil estudar a fundo. Para que todos os números sejam maiores que seus correspondentes, temos:
9 - 3 = 6 possibilidades para o primeiro algarismo
9 - 1 = 8 possibilidades para o segundo algarismo
9 - 4 = 5 possibilidades para o terceiro algarismo
Pelo princípio fundamental da contagem, temos 6 * 8 * 5 possibilidades de números no total. Alternativa B, portanto.
Divisor de mn
Os inteiros positivos m e n satisfazem 15m = 20n. Então é possível afirmar, com certeza, que mn é múltiplo de:
A) 5 B) 10 C) 12 D) 15 E) 20
Para sabermos de que número mn é múltiplo, precisamos descobrir primeiramente os menores valores de n e m que satisfazem a equação. Isso nos traz à questão: qual é o menor número obtido por um múltiplo de 15 e 20, simultaneamente? Ou seja, o MMC desses números. Não é difícil perceber que é 60. Assim:
15m = 60 => m = 4
20n = 60 => n = 3
Como mn = 4 * 3 = 12, o produto de todas as outras soluções da equação também devem ser múltiplas de 12. Alternativa C.
Divisor dos outros números
Um dos cinco números a seguir é divisor da soma dos outros quatro. Qual é esse número?
A) 20 B) 24 C) 28 D) 38 E) 42
Recordam-se de nossa conversa sobre divisores quando falei sobre teoria dos números? Pois bem, um número d divide a, escreve-se d|a, quando a for um múltiplo de d, e este um divisor de a. Mas também é verdade que d é um divisor e múltiplo de si mesmo, certo? Afinal, d * 1 = d. Parece um fato trivial, porém de extrema utilidade em problemas do tipo:
d|a
d|d
Assim, em nosso problema temos:
e|a + b + c + d
e|e
Outro conceito importante: divisor comum. Quando temos um número que divide tanto a quanto b, então ele também divide qualquer combinação linear de a e b. Assim:
e|a + b + c + d + e
A partir daí fica fácil, pois 20 + 24 + 28 + 38 + 42 = 152. Basta verificar qual número divide 152 e achamos nossa resposta, mas antes de cair de boca testando as alternativas, considere fatorar o número:
152 = 2 * 76
152 = 2 * 2 * 38
Portanto, 152 é múltiplo de 38. Alternativa D.
Uma função peculiar
Seja f : Z -> Z uma função tal que f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 2 e f(x + 12) = f(x + 21) = f(x) para todo x real. Então f(2009) é:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 2009
Como em todo problema envolvendo funções desconhecidas, precisamos testar pequenos valores e tentar enxergar algum padrão:
f(0) = f(12) = f(21) = 0
f(1) = f(13) = f(22) = 1
f(2) = f(14) = f(23) = 2
Concordam que estamos diante de uma função recursiva? Para provar, vamos calcular f(42):
f(42) = f(x + 21) = f(x)
21 + x = 42 => x = 21
f(42) = f(21) = f(0) = 0
Similarmente, f(43) = 1 e f(44) = 2. Isso é interessante, pois 42 deixa resto 0 quando dividido por 21, 43 deixa resto 1 e 44 resto 2. Então vamos tentar diminuir recursivamente 2009, primeiro calculando o resto de sua divisão por 21:
2009 mod 21 = 14
Agora precisamos calcular f(14), que já sabemos ser igual a 2 pelos exemplos acima, pois f(2 + 12) = f(14) = f(2) = 2. Alternativa C.
Observe que poderíamos repetir o mesmo procedimento no caso de não conhecermos o valor em função do resto do número na divisão por 21. Se fosse um valor maior ainda, poderíamos usar o 42 ou outro número maior cujo valor conhecêssemos.
Os superpares: salvadores da Terra
Um subconjunto de {1,2,3,…,20} é superpar quando quaisquer dois de seus elementos têm produto par. A maior quantidade de elementos de um subconjunto superpar é:
A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 11
Aqui estamos abordando o conceito de paridade, um tópico muitas vezes tido erroneamente como banal. Com certeza básico, mas antes fundamental do que banal. Aproveitando o assunto, vamos explorar algumas propriedades. Sejam 2a e 2b números pares e 2c + 1 e 2d + 1 ímpares:
2a * 2b = 4b (o produto de 2 pares é par)
2a * (2c + 1) = 4ac + 2a = 2(2ac + a) (o produto de um par por um ímpar é par)
(2c + 1) * (2d + 1) = 4cd + 2c + 2d + 1 = 2(2cd + c + d) + 1 (o produto de dois ímpares é ímpar)
Assim, se queremos maximizar o número de elementos em um subconjunto superpar, devemos escolher no máximo 1 número ímpar e todos os outros pares. Os pares se agrupam com os pares para formar pares e o ímpar é multiplicado por outro par qualquer, também resultando em par. Ficou muito confuso? Basicamente: par com par dá par e ímpar com par dá par. Se usássemos mais de um ímpar, teríamos um par com produto ímpar.
Enfim, como temos 10 pares e 1 ímpar no conjunto, o maior subconjunto possui 10 + 1 = 11 elementos. Alternativa E.
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