Maratona de problemas - Dia 2

Acabei tendo que adiar o segundo dia por problemas técnicos (lê-se procrastinação), mas devemos retomar o fluxo normal de atividades a partir de hoje. Enfim, hoje vou falar sobre alguns conceitos importantes da OBF por meio de exemplos.

O garoto e o barco

(OBF 2007) Um garoto de massa m está num pequeno barco, de massa M, que se encontra em repouso em um lago de águas paradas. Em um determinado momento ele anda com velocidade v de um extremo do barco ao outro. Desprezando os efeitos dissipativos,

a) Qual será a velocidade do barco em relação à margem?
b) Se o barco fosse transformado num navio, qual seria a velocidade do navio?

Para quem é novo na OBF é possível que a primeira coisa a vir à mente seja: ... não, nada. Como diabos querem que encontremos a velocidade do barco com 3 dados? Cadê a distância, o tempo, os ângulos... bem, não precisa de nada disso na verdade. De fato é um problema relativamente simples que pode ser resolvido com uma boa análise da situação.

O gabarito oficial lista uma resolução com centro de massa, mas vou aproveitar e resolver por conservação de quantidade de movimento. Junto com conservação de energia, é um dos tópicos que definitivamente vai acabar caindo em pelo menos uma questão da prova, então seria útil compreendê-lo.

Muito bem, como há uma variação de velocidade, deve haver uma variação da quantidade de movimento do sistema (lembrando que a quantidade de movimento Q = m * v)... ou será que não? Na verdade, como não há forças externas interferindo no processo, pela lei de conservação temos que:

Qf = Qi

Ou seja, a quantidade de movimento do sistema antes de o infeliz decidir andar de um lado para o outro conserva-se. Assim:

Está aí, respondida a questão a). Quanto à b)... bem, como a velocidade é inversamente proporcional à massa do barco/navio/whatever, fica evidente que a velocidade tende a zero conforme aumenta a massa. Se fosse um navio a mudança na velocidade seria imperceptível, naturalmente.

Problema de plano inclinado qualquer... será?

(OBF 2008) Um corpo de massa igual a 2,0 kg é abandonado em repouso no alto de uma plataforma inclinada, que forma um ângulo de 30º com a superfície horizontal em que se encontra apoiada. Este corpo desliza sobre a plataforma e atinge sua base com uma velocidade igual a 6,0 m/s. Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s² e o comprimento da plataforma 10 m, determine o módulo da força de atrito entre o corpo e a plataforma.

É verdade que a maioria dos problemas não é nada do outro mundo, mas devemos tomar cuidado para não cair em erros bobos por falta de interpretação. Veja o exemplo acima, por exemplo. Não sei quanto a vocês, mas fui logo determinando a aceleração a partir da distância percorrida e velocidades, daí fui ao cálculo da força resultante, e... mas espere!

Quem disse que a aceleração é constante, por acaso? Certamente não foi o enunciado. Estamos diante de um problema de conservação de energia, acredite ou não. Em um sistema fechado, lembram-se que a energia potencial converte-se em energia cinética? Na natureza nada se perde e tal... Mas no nosso caso essa energia está sendo degradada pela força de atrito. Matematicamente:

Para o cálculo da energia potencial precisamos da altura, que pode ser obtida por Pitágoras. Não tenho muito tempo para desenhar, então vão ter que usar a imaginação para imaginar um triângulo retângulo com hipotenusa de 10 metros e um ângulo agudo de 30º, oposto a ele estando a altura inicial do objeto ao chão. Assim, h = 10 * sen 30º = 5 m.

Agora basta utilizar as formulinhas que conhecemos (faça isso como um pequeno exercício) para encontrar Fat = 6,4 N.

A esfera era a lei

(OBF 2008) Uma pequena esfera de densidade ρ1, ao ser colocada na água, afunda inicialmente de forma acelerada mas, após um breve intervalo de tempo passa, devido à ação da força de viscosidade da água, a se mover com velocidade constante. Suponha que o tempo de descida desta esfera, ao percorrer uma distância L com velocidade constante, seja t1. Uma segunda esfera de mesmo diâmetro, porém com densidade ρ2, é atirada na água. Quando ela atinge a velocidade constante seu tempo de descida, para a mesma distância L, é t2 = 2 * t1. Supondo que ρ1 é 10% maior que a densidade da água, determine o valor de ρ2 . (Observação: o módulo da força de viscosidade para este caso pode ser expresso como Fv = bv, onde v é a velocidade e b é uma constante que depende do raio da esfera e das propriedades do líquido).

Enunciado grandinho, mas só precisamos extrair o que precisamos saber. Este aqui é consideravelmente direto ao ponto, então vamos resolvê-lo. A força que age sobre qualquer esfera é a resultante do empuxo, peso e viscosidade:

Quando a velocidade é constante, Fr = 0:

Bom, bom... temos duas esferas e precisamos descobrir ρ2, então podemos dividir v1 por v2 para cancelar essas variáveis feias (V, g e b). Por outro lado, tratando-se de um movimento retilíneo uniforme, L = v * t, de modo que v = L/t. Tudo isso para chegar a duas equações:

Você pode (se possível, o faça) re-fazer o raciocínio se não entendeu como as coisas chegaram até aí e verificar se as equações acima são verdadeiras. Agora mãos à obra. Substituindo os valores obtemos p2 = 1,05 * pa.