Como apenas alguns conceitos básicos e principalmente raciocínio lógico são necessários, é bom para treinar o conhecimento relacional. E, no final das contas, é tudo sobre resolução de problemas.
O retângulo que queria ser quadrado (ou o contrário?)
(OBMEP 2008) Ronaldo quer cercar completamente um terreno retangular de 900 m². Ao calcular o comprimento da cerca, ele se enganou, fez os cálculos como se o terreno fosse quadrado e comprou 2 metros de cerca a menos que o necessário. Qual é a diferença entre o comprimento e a largura do terreno?
Seja b o comprimento e h a largura do terreno original, temos:
b * h = 900
Como Ronaldo tratou o terreno como quadrado, temos um quadrado de lado l = 30 m. Assim:
Perímetro do quadrado + 2 = perímetro do retângulo
30 * 4 + 2 = 2b + 2h
b + h = 61
Da primeira equação tiramos b = 900/h, então substituímos na segunda equação e chegamos a
h² - 61h + 900 = 0
Cujas raízes são h = {25, 36}. Note que poderíamos fazer raciocínio semelhante para b, de modo que, se b = 25, então h = 36, e se b = 36, então h = 25. Logo, a diferença em módulo entre b e h é |b - h| = 11 m.
Um estojo com etiquetas numeradas alfabeticamente e canetas que podem ser da cor azul ou vermelha e formadas por pigmentos...
(OBMEP 2008) Uma papelaria monta estojos. Dentro de cada estojo são colocadas 3 canetas, que podem ser azuis ou vermelhas, numeradas com 1, 2 e 3. Cada estojo recebe uma etiqueta com a letra A se as cores das canetas 1 e 2 são iguais, uma com a letra B se as cores das canetas 1 e 3 são iguais e uma com a letra C se as cores das canetas 2 e 3 são iguais (o mesmo estojo pode receber mais de uma etiqueta). Em certo dia foram utilizadas 120 etiquetas A, 150 etiquetas B e 200 etiquetas C, e exatamente 200 estojos receberam apenas uma etiqueta. Quantos estojos foram montados nesse dia?
Brincadeiras à parte, não é tão confuso assim. Vamos montar um diagrama de Venn; não precisa caprichar, como nota-se, é só para facilitar a visualização do problema mesmo:
Cada número representa o número de estojos com cada etiqueta, de modo que:
- Nenhum estojo pode não ter nenhuma etiqueta
- Um estojo não pode ter apenas 2 etiquetas. Por exemplo, um estojo é marcado com a letra A se as cores das canetas 1 e 2 forem iguais, e B se as das canetas 1 e 3 forem iguais. Oras, se 1 e 2 são iguais e 1 e 3 são iguais, 2 e 3 também são iguais, então o estojo recebe também a etiqueta C.
- As variáveis a, b e c indicam, respectivamente, os estojos apenas com as etiquetas A, B e C.
- A variável x indica o número de estojos com as 3 etiquetas.
De acordo com o problema, temos a + b + c = 200. Se 200 estojos receberam apenas 1 etiqueta, basta descobrir 200 + x, sendo x os estojos que receberam as 3 etiquetas. Também pelo enunciado:
a + x = 120
b + x = 150
c + x = 200
Somando as equações:
a + b + c + 3x = 470
a + b + c = 200 => 200 + 3x = 470
x = 90
Portanto, nossa resposta é 200 + 90 = 290 estojos.
Calculadora turbinada
(OBMEP 2007)
A calculadora do Dodó tem uma tecla especial com o símbolo Ϟ. Se o visor mostra um número x diferente de 2, ao apertar Ϟ aparece o valor de (2x - 3)/(x - 2).
a) Se o Dodó colocar 4 no visor e apertar Ϟ, qual número vai aparecer?
b) Dodó colocou um número no visor e, ao apertar Ϟ, apareceu o mesmo número. Quais são os números que ele pode ter colocado no visor?
c) Dodó percebeu que, colocando o 4 no visor e apertando a duas vezes, aparece de novo o 4; da mesma forma, colocando o 5 e apertando a duas vezes, aparece de novo o 5. O mesmo vai acontecer para qualquer número diferente de 2? Explique.
A OBMEP adora calculadoras bizarras que geralmente avaliam uma determinada expressão. No pior dos casos, basta não se perder no inferno algébrico que as equações podem se tornar. Enfim, a primeira questão deixo por conta de vocês, já que é só aplicar a fórmula. Vejamos a b) então:
(2x - 3)/(x - 2) = x
x² - 2x = 2x - 3
x² - 4x + 3 = 0
x = {1, 3}
Logo, Dodó pode ter colocado os números 1 ou 3 no visor. A c) deve complicar um pouco as coisas, então para facilitar usamos funções. Determinamos que f(x) = (2x - 3)/(x - 2), então precisamos calcular f(f(x)) e verificar se o resultado é x. Seja y = f(x):
y = (2x - 3)/(x - 2)
f(y) = (2y - 3)/(y - 2) = x
xy - 2x = 2y - 3
Agora é só substituir y por (2x - 3)/(x - 2) e verificar a igualdade. Se quiser simplificar ainda mais, lembre-se que a fatoração é sua amiga.
O sorteio e o malandrinho
(OBMEP 2010) André, Bianca, Carlos e Dalva querem sortear um livro entre eles. Para isso, colocaram três bolas brancas e uma preta em uma caixa e combinaram que, em ordem alfabética de seus nomes, cada um tiraria uma bola, sem devolvê-la à caixa. Aquele que tirasse a bola preta ganharia o livro.
a) Qual é a probabilidade de André ganhar o livro?
b) Qual é a probabilidade de Dalva ganhar o livro?
Questões simples de probabilidade por enquanto. Fica imediatamente claro que, para André ganhar o livro, ele precisará tirar a bola preta. Como há 1 bolas preta em 4 bolas no total, a probabilidade buscada é 1/4 = 25%. Para Dalva tirar a bola preta, todos os anteriores devem tirar uma bola branca. Assim:
3/4 * 2/3 * 1/2 = 6/24 = 1/4 = 25%
Se não ficou claro, repare que o número de bolas vai diminuindo a cada turno e que os eventos precisam necessariamente acontecer (usamos o conector "e"). Vemos que se trata de um sorteio bem justo, pois todos têm a mesma probabilidade de vencer. Agora vamos a uma nova situação:
Para sortear outro livro, André sugeriu usar duas bolas pretas e seis brancas. Como antes, o primeiro que tirasse uma bola preta ganharia o livro; se as primeiras quatro bolas fossem brancas, eles continuariam a retirar bolas, na mesma ordem. Nesse novo sorteio:
c) Qual é a probabilidade de André ganhar o livro?
d) Qual é a probabilidade de Dalva ganhar o livro?
Já notou como André fez uso do bom e velho jeitinho brasileiro? Vamos provar isso calculando os itens c) e d). Para André vencer, ou ele tira a bola preta de primeira ou espera que todos os outros tirem as bolas brancas e ele tire a bola preta depois disso. Nem preciso dizer que suas chances de vencer aumentaram significativamente:
2/8 + (6/8 * 5/7 * 4/6 * 3/5 * 2/4) = 1/4 + 3/28 = 5/14 = 36%
Além disso, o novo método de sorteio deixa Dalva com a menor probabilidade de vencer, pois ela só terá uma única chance na primeira rodada (se chegar até Carlos, ele certamente conseguirá a primeira bola preta). Assim:
6/8 * 5/7 * 4/6 * 2/5 = 1/7 = 14%
Os cartões
(OBMEP 2009) Em uma caixa foram colocados um cartão no qual está escrito o número 1, dois cartões nos quais está escrito o número 2, três cartões com o número 3 e assim por diante, até dez cartões com o número 10.
a) Quantos cartões foram colocados na caixa?
b) Explique como escolher 19 cartões da caixa sem que três deles tenham o mesmo número.
c) Qual é o menor número de cartões que pode ser retirado da caixa, ao acaso, para que se tenha certeza que cinco deles têm o mesmo número? Justifique sua resposta.
O primeiro item explora os princípios de uma progressão aritmética. A soma dos naturais até 10 é dada por:
10 * 11/2 = 55
Sem segredos até aqui. O raciocínio do segundo também é simples: primeiro pegamos um cartão de cada com os números de 1 a 10 e depois dois de cada com os números de 2 a 9. No total temos 10 + 9 = 19 cartões e no máximo um par com o mesmo número.
Agora vamos à c). Em nosso raciocínio pegamos uma quantidade de bolas de acordo com rodadas e assumimos o pior caso: em cada rodada, todos os números diferem entre si. Assim, na primeira rodada pegamos 1 cartão de cada um dos números de 1 a 10, na segunda 1 de cada um dos números de 2 a 10, e por aí vai.
Isso nos leva a algumas considerações interessantes. Concordam que no início da segunda rodada temos com certeza pelo menos 1 par? Implicitamente estamos usando o Princípio da Casa dos Pombos, do qual possivelmente falarei no futuro. Prosseguindo, na terceira rodada temos um trio de cartões com o mesmo número, na quarta um quarteto e na quinta um quinteto.
Assim, temos:
10 + 9 + 8 + 7 = 34
Percorremos 4 rodadas. Só precisamos escolher mais um e obteremos 34 + 1 = 35 cartões, de modo que com certeza deve haver um número repetido 5 vezes entre os cartões.
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