Queimando alguns neurônios

Por: Anne Burgess.

Na falta do que fazer, por que não exercitar um pouco o cérebro com um teste de lógica improvisado? Ao final do post, como sempre, estão minhas fontes para os interessados em mais desafios.

Problema 1

Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e, ao sair de cada uma das lojas pagou R$2.00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$8.00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa?

Imediatamente antes de entrar na primeira loja, ou seja, ao sair de casa, Pedro tinha uma quantidade x4 de dinheiro. Ao sair, ele está com uma quantidade x4 - x4/2 - 2, que equivale ao quanto de dinheiro ele terá imediatamente antes de entrar na loja seguinte. Isso prossegue até a última loja, da qual ele sai com R$ 8.00. Sendo assim, vamos pensar de trás para frente:

Antes da quarta loja: x1 - x1/2 - 2 = 8 => x1/2 = 10 => x1 = 20
Antes da terceira loja: x2 - x2/2 - 2 = x1 => x2/2 = 22 => x2 = 44
Antes da segunda loja: x3 - x3/2 - 2 = x2 => x3/2 = 46 => x3 = 92
Antes da primeira loja: x4 - x4/2 - 2 = x3 => x4/2 = 94 => x4 = 188

Portanto, Pedro tinha R$ 188.00 ao sair de casa.

Problema 2

Pancho Villa viaja de Acapulco a Guadalajara, viajando por uma estrada a uma velocidade constante. Passa por um marco (marcador de distância, a partir de Acapulco) que contém dois algarismos. Uma hora depois, passa por outro marco, contendo os mesmos dois algarismos, mas em ordem inversa. Uma hora depois, passa por um terceiro marco, contendo os mesmos algarismos, na ordem que os viu no primeiro marco, mas separados por um zero. Com que velocidade Pancho Villa viaja?

A Cinemática nos diz que:

v = d/t

De modo que t = 1 + 1 = 2 horas no total. Note que o percurso percorrido é o seguinte: (10x + y) -> (10y + x) -> (100x + y). Se não entendeu, lembre-se da decomposição decimal, abordada neste post sobre teoria dos números. Ora, se a velocidade é constante, a distância entre (100x + y) e (10y + x) é a mesma de (10y + x) e (10x + y). Assim temos:

(100x + y) - (10y + x) = (10y + x) - (10x + y)
99x - 9y = 9y - 9x
108x - 18y = 0
y = 108x/18 = 6x

Como y é um dígito e 10y + x é um número de 2 algarismos, necessariamente precisamos ter 0 < y <= 9. Ou seja, 0 < 6x <= 9, de modo que o único valor possível de x é 1. Então temos y = 6. Outra maneira de deduzir o valor de x é observar o número 100x + y, que é a soma dos marcos anteriores, ambos de 2 algarismos. Mas a maior soma possível entre 2 números de 2 algarismos é 99 + 99 = 198, então x = 1.

Por fim:

d = 106 - 16 = 90 km
v = 90/2 = 45 km/h

O cara é bom, ein? Viva la revolucíon!

Problema 3

Existem duas caixas, "A" e "B". Um aviso na caixa A diz "O aviso na caixa B é verdadeiro e o ouro está na caixa A". Um aviso na caixa B diz "O aviso na caixa A é falso e o ouro está na caixa A". Assumindo que existe ouro em uma das caixas, qual delas contém o ouro?

Vamos montar uma tabela com algumas suposições e ver o que acontece

A	B	Ouro
V	V	A
V	F	A
F	V	A
F	F	B

Vamos supor que o aviso A seja verdadeiro e B também. Mas isso é um absurdo, pois B => ¬A (B nega A). Similarmente, não podemos supor que A seja verdadeiro e marcar B como falso, pois A => B (A implica B). Ok, então A é falso e B é verdadeiro. Mas espera um pouco... se o ouro está em A e B é verdadeiro, então A é verdadeiro (ou seja, B => A)!

Vemos que a única opção logicamente possível é termos ambos os avisos falsos. Portanto, o ouro está na caixa B.

Problema 4

Considere a seguinte seqüência infinita de números: 3, 12, 27, __, 75, 108,... O número que preenche adequadamente a quarta posição dessa seqüência é:

a) 36,
b) 40,
c) 42,
d) 44,
e) 48.

Um bom primeiro passo em problemas com sequências é tentar formar um termo a partir do termo anterior e ver o que acontece:

12 = 3 + 9
27 = 12 + 15
x = 27 + ??
75 = x + ??
108 = 75 + 33

Notamos que todo termo é a soma do seu anterior com um número r, que está contido em uma progressão aritmética de razão 6, pois 15 - 9 = 6. Vamos ver se o raciocínio funciona:

12 = 3 + 9

27 = 12 + 15

48 = 27 + 21

75 = 48 + 27

108 = 75 + 33

Portanto, x = 48.

Problema 5

Dona Panchovila comprou duas balas para cada aluno de sua sala. Mas os meninos da classe fizeram muita bagunça, e a professora resolveu distribuir as balas de maneira diferente: cinco para cada menina e apenas uma para cada menino. Qual a porcentagem de meninos na sala?

Olha lá o Pancho Villa de novo! Suponho que travestismo seja um de seus hobbies quando ele não está comandando nenhuma revolução. Bem, deixemos nosso curioso personagem de lado e vamos indicar a quantidade de meninas por x e meninos por y. Em ambas as distribuições, como nenhuma bala foi perdida, o número total de balas é o mesmo. Logo:

2x + 2y = 5x + y
y = 3x

Com isso podemos calcular a porcentagem de meninas:

x/(x + y) =
= x/4x = 1/4

Portanto, temos 3/4 = 75% de meninos.

Problema 6

(OBM 2003) João disse para Maria: "Se eu lhe der um quarto do que tenho, você ficará com metade do que vai me sobrar". Maria acrescentou: "E eu lhe daria 5 reais, se lhe desse a metade do que tenho". Juntos, os dois possuem:

A) 80 reais B) 90 reais C) 100 reais D) 120 reais E) 130 reais

Esta é uma questão de saber representar um problema em linguagem algébrica. Vamos representar a quantidade de dinheiro de João por x e de Maria por y. Montamos um sistema de acordo com o enunciado:

y + x/4 = 1/2(x - x/4)
y/2 = 5

Da segunda equação, fica claro que y = 10. Substituindo o valor na primeira equação, obtemos:

10 + x/4 = x/2 - x/8
80 + 2x = 4x - x
x = 80

A soma encontrada é 10 + 80 = 90 reais, portanto.

Fontes

Desafios Só Matemática
Colégio Elite - Prova avaliativa de lógica
Exercícios de lógica
OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática