Trigonometria: teoria e exercícios

Neste post abordo alguns conceitos simples e outros um pouco mais elaborados, úteis aos interessados nas competições de matemática, sobre Trigonometria (para mais assuntos, veja este post). Como devem saber, a Trigonometria é um campo muito estudado desde os tempos antigos até hoje, contando com inúmeras aplicações nas mais diversas áreas. Não é um mistério, portanto, que seja tão cobrado em vestibulares e olimpíadas.

Aqui vale o esquema de sempre: não pretendo elaborar uma aula completamente abrangente e detalhada, apenas dou alguns toques para direcionar o estudo e o resto é com vocês.

Funções trigonométricas

Vou assumir que o leitor já esteja familiarizado com os conceitos fundamentais da Trigonometria no plano e no ciclo, sabendo identificar o seno, cosseno e tangente em um triângulo qualquer. Ah, sem se esquecer da lei dos senos e cossenos. Se estiver em dúvidas neste aspecto, consulte a primeira fonte abaixo. Além disso, é útil conhecer as seguintes relações:

csc(x) = 1/sen(x)
sec(x) = 1/cos(x)
cotg(x) = 1/tan(x)

Que são, respectivamente, a definição de cossecante, secante e cotangente. Note também que uma maneira alternativa de representar a cotangente seria cotg(x) = cos(x)/sen(x) e, por consequência da definição, nem todos os ângulos têm valores associados a todas as funções. Por exemplo, como cos(90º) = 0, então sec(90º) = 1/0, uma indefinição matemática.

Identidades básicas

São as principais ferramentas para vencer aquelas equações trigonométricas problemáticas e simplificar muita coisa. Muita gente acha que precisa decorar um monte de coisa, mas muito pode ser rapidamente deduzido, como a relação que acabei de citar na seção acima. Ou seja, cotg (x) = cos(x)/sen(x). Então vamos à identidade trigonométrica fundamental:

sen²(x) + cos²(x) = 1

Que aliás é consequência direta do Teorema de Pitágoras, como é fácil demonstrar. E se estivermos lidando não com seno e cosseno, mas secante e tangente?

sec(x) = 1/cos(x) => sec²(x) = 1/cos²(x) => cos²(x) = 1/sec²(x)

Substituindo na identidade (eu vou pulando algumas etapas propositalmente, então sinta-se livre para testar por si próprio ou deixar um comentário se não tiver entendido):

sen²(x) * sec²(x) + 1 = sec²(x)

Como tan(x) = sen(x)/cos(x), segue que sen(x) = tg(x) * cos(x), então sen(x) = tan²(x) * cos²(x) = tan²(x) * 1/sec²(x).

tan²(x) * 1/sec²(x) * sec²(x) = sec²(x) - 1
tan²(x) = sec²(x) - 1
sec²(x) = 1 + tan²(x)

Soma de ângulos, arco duplo, arco metade

Primeiro o básico:

sen(x + y) = sen(x)cos(y) + sen(y)cos(x)
sen(x - y) = sen(x)cos(y) - sen(y)cos(x)
cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y)
cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

O arco duplo não deve ser difícil de deduzir, já que 2x = x + x. Tendo isso em mente, temos por exemplo:

sen(2x) = sen(x)cos(x) + sen(x)cos(x) = 2 * sen(x)cos(x)
cos(2x) = cos(x)cos(x) - sen(x)sen(x) = cos²x - sen²x

Sem problema, certo? E por que não o arco triplo também? Afinal, 3x = 2x + x, e por aí vai. Outra relação muito útil é o cálculo da soma ou subtração de senos e cossenos. Por exemplo, quanto vale sen(α) + sen(β)? Para isso temos as fórmulas de prostaférese (sim, esta palavra existe), das quais vamos desenvolver uma e o resto segue na mesma linha. Note que somando as duas primeiras somas acimas obtemos:

sen(x + y) + sen(x - y) = 2 * sen(x)cos(y)

Ora, basta então fazer x + y = α e x - y = β, o que nos leva a x = (α + β)/2 e y = (α - β)/2. Logo, temos:

sen(α) + sen(β) = 2 * sen[(α + β)/2]cos[(α - β)/2]

Pontos notáveis

Não vou entrar com muitos detalhes aqui, mas também são importantes na resolução de problemas envolvendo Trigonometria no plano. Dê uma olhada nesta página da Olimpédia e/ou nesta página bem completa, embora em inglês.

Triângulos e circunferências

São frequentes os problemas de triângulos e/ou circunferências cuja resolução depende um do outro. Recomendo o ótimo artigo "O triângulo e suas principais circunferências", de Eduardo Wagner, que traz deduções bastante intuitivas muito úteis na resolução de problemas. Vale a pena dedicar um estudo mais detalhado sobre o assunto. Ah, e já ia me esquecendo da fórmula de Heron/Herão, que determina a área S de um triângulo de lados a, b e c: $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$

Onde p é o semiperímetro do triângulo (ou seja, metade do perímetro). Demonstrações desse teorema não faltam — embora nem todas sejam lá muito elementares —, basta procurar.

Problemas

1 - Determine sen(x/2) e cos(x/2), para qualquer ângulo x (sugestão: use a fórmula do arco duplo).

2 - A partir dos resultados da questão anterior, determine tan(x/2).

3 - Verifique a igualdade
$$ \frac{1}{1 + sen^2(x)} + \frac{1}{1 + cos^2(x)} + \frac{1}{1 + sec^2(x)} + \frac{1}{1 + csc^2(x)} = 2 $$

4 - (FUVEST) Os lados de um triângulo medem √5, √10 e 5. Qual o comprimento da altura relativa ao lado maior?

5 - (FUVEST) O dobro do seno de um ângulo α, onde temos 0 < α < pi/2, é igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo, qual o valor do seu cosseno?

6 - (Unicamp) Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância AB = 1200 metros . Quando em A, ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NAB é de 60°; e quando em B, verifica que o ângulo NBA é de 45°. Calcule a distância a que se encontra o navio da praia.

Gabarito

1 - $$ \begin{align*}
sen\left ( \frac{x}{2} \right ) &= \sqrt{\frac{1 - cos(x)}{2}} \\
cos\left ( \frac{x}{2} \right ) &= \sqrt{\frac{1 + cos(x)}{2}}
\end{align*} $$

2 - $$ tan\left ( \frac{x}{2} \right ) = \sqrt{\frac{1 - cos(x)}{1 + cos(x)}} $$

3 - Verdadeira.

4 - 1 (resolução neste post).

5 - √3/2 (resolução neste post).

6 - 1800 - 600√3, ou aproximadamente 760,77 metros (resolução neste post).

Fontes

Trigonometria do triângulo, do círculo e da hipérbole
O triângulo e suas principais circunferências
Somas trigonométricas