Questões resolvidas de progressões

Seguindo o post sobre PA e PG, vamos fixar os conceitos resolvendo algumas questões de vestibular ao redor do Brasil.

ITA-SP: descubra os números

Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10 000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7?

Entre 10 000 e 1000, contando os extremos, temos 9001 números. Desses 9001, temos um conjunto A dos inteiros divisíveis por 5 e B dos inteiros divisíveis por 7. Assim, basta calcular 9001 - |A ∪ B|. Pelo princípio da inclusão-exclusão:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

O que é lógico, pois precisamos excluir os inteiros divisíveis tanto por 5 e 7 para não contarmos duas vezes, ou seja, divisíveis por 35. Ok, primeiro notamos que A é uma progressão aritmética de índice 5:

A = {1000, 1005, ..., 10 000}

10 000 = 1000 + 5(n - 1) => n = |A| = 1801

E B é uma progressão aritmética de índice 7:

{1001, 1008, ..., 9996}

9996 = 1001 + 7(n - 1) => n = |B| = 1286

Mesmo raciocínio para A ∩ B, ou seja, múltiplos de 35:

{1015, 1050, ..., 9975}

9975 = 1015 + 35(n - 1) => n = |A ∩ B| = 257

Portanto, nossa resposta final será:

9001 - (|A| + |B| - |A ∩ B|) = 9001 - (1801 + 1286 - 257) = 6171 números

Talvez o mais difícil seja localizar o menor e o maior múltiplos de 7 e 35 no intervalo [1000, 10 000], o que infelizmente não deixa muita alternativa a não ser tentativa e erro, tentando aproximar o melhor possível com os valores conhecidos.

UFRGS: Uma certa PG

Numa PG de razão positiva, o primeiro termo é igual ao dobro da razão, e a soma dos dois primeiros é 24. Nessa progressão a razão é

a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.

Considerando uma PG (a1, a2, ..., an) na qual a razão vale q, temos as seguintes equações:

a1 = 2q [1]
a2 = a1 * q [2]
a1 + a2 = 24 [3]

Substituindo [1] em [2], obtemos a2 = 2q², e combinando essa expressão com [1] em [3]:

2q + 2q² = 24
q² + q - 12 = 0

De onde vem q = {-4, 3}. Como a razão desta PG deve ser positiva, a única solução válida é q = 3, e portanto marcamos a alternativa c.

Vunesp: PA e PG

A sequência de números reais a, b, c, d forma, nessa ordem, uma progressão aritmética cuja soma dos termos é 110, a sequência de números reais a, b, e, f forma, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 2. A soma d + f é igual a:

a) 142.
b) 132.
c) 120.
d) 102.
e) 96.

Da PG (a, b, e, f), b = 2a. Assim, a PA tem razão r = a, de modo que b = 2a, c = 3a, d = 4a. Além disso:

a + 2a + 3a + 4a = 110 => a = 11, d = 44

Continuando na PG:

e = a * 2³
e = 8a
e = 88.

Assim, d + f = 44 + 88 = 132, alternativa b.

EsPCEx: a partida

Ao chegar a uma partida de basquete, um torcedor viu sua equipe perdendo por uma diferença de 30 pontos. A partir desse momento essa equipe começou a reagir à razão de 3 pontos para cada ponto da equipe adversária. Sabendo que a partida terminou empatada e o total de pontos marcados pelas duas equipes juntas foi de 120, pode-se dizer que o placar da partida no instante da chegada do torcedor era:

a) 18 X 48.
b) 20 X 50.
c) 17 X 47.
d) 15 X 45.
e) 16 X 46.

Inicialmente a equipe A tinha x pontos e a equipe B, x + 30. Identificamos duas progressões aritméticas:

- Da equipe A: (x, x + 3, x + 6, ..., x + 3(n - 1)), onde n - 1 é justamente o número de pontos marcados pela equipe B a partir de então.

- Da equipe B: (x + 30, x + 31, ..., x + 30 + 1(n -1) = x + n + 29).

Daí vale o sistema:

x + 3n - 3 = x + n + 29 [1]
2(x + 3n - 3) = 120 [2]

Podemos facilmente calcular o valor de n em [1]:

3n - 3 = n + 29 (cortando as duas incógnitas x)
2n = 32
n = 16

Basta substituir o valor de n em [2]:

2(x + 45) = 120
x + 45 = 60 => x = 15

Então a equipe A tinha x = 15 pontos e a equipe B, x + 30 = 45 pontos, alternativa d.