A teoria das probabilidades

Poker chips, por: Jamie Adams (CC-by-SA 2.0).

A probabilidade é uma importantíssima parte da matemática aplicada, fundamental na dita "matemática dos jogos", ou seja, a utilização da matemática para calcular eventos relacionados a jogos do azar. Informalmente, podemos dizer que a probabilidade é o estudo do acaso e utilizamos muitos de seus conceitos no cotidiano, mesmo sem perceber. Neste post vou abordar o básico, mas recomendo aprofundar o assunto com os links que deixarei no final.

Introdução à probabilidade: conceitos

A teoria das probabilidades surgiu com o estudo dos jogos de azar, a fim de entender melhor qual é o modo de maximizar ou minimizar as chances de um jogador vencer. Mas é possível quantificar o acaso? Veremos à seguir, mas já adianto que a probabilidade encontra uma infinitude de usos em outras aplicações senão jogos. Antes de tudo, definiremos alguns conceitos:

Experimento aleatório

A probabilidade analisa os experimentos aleatórios, mas o que são eles? É qualquer processo de observação ou procedimento que pode ser repetido infinitas vezes e em cada vez gerar um resultado diferente. Apesar disso, ele deve possuir um conjunto de resultados bem definido. Não se pode calcular, por exemplo, a probabilidade exata de sair 1 em um gerador de números aleatórios, havendo infinitos números. Mas se o gerador só nos fornecer inteiros de 1 a 5, aí sim poderemos fazer alguma coisa.

Espaço amostral

Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis. No caso de um lançamento de duas moedas, por exemplo, podemos ter {(cara, cara), (coroa, coroa), (cara, coroa), (coroa, cara)}.

Evento

Um evento é um subconjunto do espaço amostral, por exemplo, o evento de você ganhar na loteria. A partir disso podemos definir...

Introdução à probabilidade: uma definição formal

Seja E um evento que pode acontecer de n(E) maneiras em um espaço amostral S com n(S) elementos, definimos a probabilidade P(E) como:

Disso obteremos um número real entre 0 e 1, de modo que podemos multiplicar por 100 para obter a probabilidade percentual do evento E ocorrer. Vamos a um exemplo prático para fixar conceitos. Lembra do lançamento de 2 moedas de antes? Pois bem, queremos calcular a probabilidade de sair cara em uma moeda e coroa na outra. Notamos que:

S = {(cara, cara), (coroa, coroa), (cara, coroa), (coroa, cara)}
E = {(cara, coroa), (coroa, cara)}

P(E) = n(E)/n(S) = 2/4 = 1/2

Ou seja, há uma probabilidade de 0,5 ou 50% de sair cara em uma moeda e coroa na outra.

Um dilema de contagem

Mas a definição acima traz uns probleminhas, não? Em um experimento mais complexo, como um jogo de loteria, não podemos simplesmente ficar contando todas os resultados possíveis. Aí surge a questão: de que modo podemos contar esses resultados de forma indireta? Uma sardinha a você que respondeu análise combinatória! Sim, a análise combinatória não surgiu do nada, mas para lidar justamente com esse dilema.

Antes de prosseguir com seus estudos, portanto, convém estudar algumas noções de análise combinatória. Você pode encontrar uma introdução básica neste post e algumas questões resolvidas aqui.

União de eventos e princípio da exclusão-inclusão

Frequentemente vemos a necessidade de unir dois ou mais eventos ou, para facilitar o raciocínio, separar um evento complexo em subconjuntos e trabalhar individualmente em cada um deles. Daí temos dois casos:

- Eventos mutualmente exclusivos: se todos os eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo;
- Eventos não mutualmente exclusivos: se não forem mutualmente exclusivos (oh, really?).

Bem, como eventos são conjuntos, unir dois conjuntos nada mais é do que somar os conjuntos. Mas aí vem o problema. Considere o lançamento de um dado, no qual S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e queremos saber a probabilidade de sair um número par ou maior do que 3. Temos os dois eventos A e B:

A = {2, 4, 6}
B = {4, 5, 6}

Opa, notamos que 4 e 6 aparecem duas vezes, então precisamos tomar cuidado para contá-los apenas uma vez. Mais formalmente, para somarmos dois conjuntos A e B, contamos cada elemento de cada um deles e depois excluímos desse total a intersecção de A e B. Este é o famoso princípio da exclusão-inclusão (lembrando que |A| representa o número de elementos em A):

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Similarmente, para calcular a probabilidade de A ou B:

P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B)
P(A ou B) = 3/6 + 3/6 - 2/6 = 1/2 + 1/2 - 1/3
P(A ou B) = 2/3

Mas e se A e B fossem mutualmente exclusivos? Por definição, P(A e B) = 0, então P(A ou B) = P(A) + P(B). Por exemplo, isso aconteceria se quiséssemos calcular a probabilidade de sair par ou ímpar (faça isso!).

Mais conceitos de probabilidade

Só isso? Não se iluda, pois apenas tocamos na ponta do iceberg. Vou deixar para você pesquisar sobre tópicos complementares nos links abaixo, principalmente o do Interactive Mathematics, se entender inglês. Que tópicos? Probabilidade condicional, teorema de Bayes, distribuição binomial etc., mas alguns exigem noções mais avançadas de Cálculo.

Mas agora já podemos usar o que sabemos em várias situações na prática, então vamos a uma aplicação bem evidente.

Probabilidade na loteria

Muito bem, vamos aplicar a teoria na prática e descobrir suas probabilidades de tirar a sorte grande na loteria. Uma modalidade popular é a LotoFácil, que funciona assim: de 25 números, o apostador escolhe 15 e vence se acertar 11, 12, 13, 14 ou todos os 15 números sorteados. Nosso experimento aleatório consiste em 15 números de 1 a 25 gerados ao acaso, de forma que o espaço amostral S é o número de combinações possíveis dos 25 números tomados de 15 a 15:

É... tá aí um número bem grande. Mas tudo bem, temos 5 eventos A, B, C, D e E para ver se conseguimos aumentar nossas chances.

Evento A: acertar todos os 15 números. Naturalmente, como a ordem não importa, há uma única maneira de escolher os 15 números sorteados, então a probabilidade do evento p(A) = 1/3268760 = 0.000031%.

Evento B: acertar 14 dos números. O raciocínio aqui é considerar que, dos 15 números escolhidos pelo apostador, 14 deles são uma combinação dos 15 números sorteados tomados de 14 a 14 e 1 deles são os 25 - 15 = 10 números que sobraram. Logo, a probabilidade do evento p(B) é dada por:

O que nos dá aproximadamente 0.00459%. Agora o resto segue a mesma linha de raciocínio, então não vou entrar em detalhes, bastando considerar 13, 12 ou 11 dos números como uma combinação dos 15 sorteados tomados de 13 a 13, 12 a 12 ou 11 a 11 e os restantes como uma combinação dos 10 números que sobraram.

Evento C: acertar 13 dos números. A probabilidade p(C) = 0.145%.

Evento D: acertar 12 dos números. A probabilidade p(D) = 1.67%.

Evento E: acertar 11 dos números. A probabilidade p(E) = 8.77%.

Notamos que são eventos mutualmente exclusivos, pois uma pessoa só pode obter o prêmio por ter acertado uma determinada quantidade de números. Assim, é seguro dizer que a intersecção entre os eventos é vazia e portanto a probabilidade total é dada por p(A) + p(B) + p(C) + p(D) + p(E) = 0.000031 + 0.145 + 1.67 + 8.77 = 10.6%, aproximadamente.

Claro que suas chances aumentam se usar os mesmos números em vários jogos (pelo menos é mais confiável do que usar números "saídos dos sonhos"). Se quiser conferir os cálculos e brincar com as probabilidades, dê uma olhada nesta calculadora online de probabilidades na loteria.

Probabilidade e vestibular: questões e exercícios propostos

Para finalizar, algumas questões de vestibular e exercícios de fixação!

Problema de Monty Hall

Suponha que esteja em um programa de TV e há 3 portas diante de si: atrás de uma porta está um carro e atrás das outras, focas. Você escolhe uma porta, vamos supor a nº 1, e o apresentador, sabendo o que está atrás das portas, abre outra porta e revela uma foca. Então ele pergunta: "Você quer escolher outra porta?". Qual é a ação mais vantajosa então: manter a escolha, mudar ou é indiferente?

Tome cuidado! Parece uma questão trivial, mas já pegou no pé de muita gente. O problema de Monty Hall é um paradoxo muito famoso, cuja resposta gerou bastante polêmica na época em que foi proposto. Veja a resolução do problema e confira outros paradoxos neste post.

Problema do aniversário

Em um grupo de 23 pessoas, qual é a probabilidade de duas delas fazerem aniversário no mesmo dia? E se fossem 50 pessoas?

Outro paradoxo fresquinho. Dica: um evento complementar q de um evento p é tal que q + p = 1. No exemplo do dado citado na seção "União de eventos e princípio da exclusão-inclusão", o evento "sair número par" é complementar ao evento "sair número ímpar", até porque um número não pode ser outra coisa.

Fuvest - n etiquetas numa urna

Numa urna são depositadas n etiquetas numeradas de 1 a n. Três etiquetas são sorteadas (em reposição). Qual a probabilidade de que os números sorteados sejam consecutivos?

Unicamp - a chave certa

Ao se tentar abrir uma porta com um chaveiro contendo várias chaves parecidas, das quais apenas uma destranca a referida porta, muitas pessoas acreditam que é mínima a chance de se encontrar a achave certa na primeira tentativa, e chegam mesmo a dizer que essa chave só vai aparecer na última tentativa. Para esclarecer essa questão, calcule, no caso de um chaveiro contendo 5 chaves:

a) a probabilidade de se acertar na primeira tentativa.

b) a probabilidade de se encontrar a chave certa depois da primeira tentativa.

c) a probabilidade de se acertar somente na última tentativa.

ITA - o concurso

Um determinado concurso é realizado em duas etapas. Ao longo dos últimos anos, 20% dos candidatos do concurso têm conseguido na primeira etapa nota superior ou igual à nota mínima necessária para poder participar da segunda etapa. Se tomarmos 6 candidatos dentre osmuitos inscritos, qual é a probabilidade de no mínimo 4 deles conseguirem nota para participar da segunda etapa?

Fontes

Probabilidade - Só matemática
Matemática Didática
Counting and Probability - Interactive Mathematics
Loteria.com.br