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Revisão OBMEP - 1
Revisão OBMEP - 2
Revisão OBMEP - 3
Revisão OBMEP - 4
Razão entre áreas
Se um arco de 60º num círculo I tem o mesmo comprimento que um arco de 45º num círculo II, então a razão entre a área do círculo I com a do círculo II é:
(A)16/9
(B) 9/16
(C) 4/3
(D) 3/4
(E) 6/9
Denotemos por r1 o raio do círculo I e r2 o raio do círculo II. Um arco de 60º em uma circunferência de raio 1 equivale a 1/3 do comprimento total. Para comprovar esse fato podemos fazer uma regrinha de 3:
360º - 2pi * r1
60º - r1 * pi/3
E o mesmo raciocínio aplica-se ao círculo II, no qual o arco de 45º vale r2 * pi/4. Daí:
r1 * pi/3 = r2 * pi/4
r1/r2 = 3/4
Assim, a razão de semelhança entre os dois raios é k = 3/4. A razão entre as áreas é o quadrado dessa razão, valendo k² = 9/16. Alternativa b, portanto.
Uma questão de lógica
Amélia, Bruno, Constância e Denise são 4 amigos que moram em Estados diferentes e se encontram sentados numa mesa quadrada, cada um ocupa um lado da mesa.
- À direita de Amélia está quem mora no Amazonas;
- Em frente à Constância está a pessoa que mora em São Paulo;
- Bruno e Denise estão um ao lado do outro;
- Uma mulher está à esquerda da pessoa que mora no Ceará.
- Um dos quatro mora na Bahia. Quem?
É uma questão parecida com o teste de Einstein, não? Bem, o jeito mais simples é montar um esquema visual para te ajudar a visualizar a disposição dos amigos. Mas antes considere o seguinte:
- Se Bruno e Denise estão um ao lado do outro, então Amélia e Constância estão do outro lado;
- Se Constância está à direita de Amélia, então seu estado é o Amazonas.
O resto das dicas não é muito fácil de aplicar só com texto, então vamos terminar o serviço com um diagrama:
| Bruno (Ceará) | Denise (São Paulo) |
| Amélia | Constância (Amazonas) |
Daí conclui-se que A (Amélia) é a pessoa que mora na Bahia... Mas a seguinte situação também é válida:
| Constância (Amazonas) | Amélia (Ceará) |
| Denise (São Paulo) | Bruno |
De onde tiramos que Bruno é a pessoa que mora na Bahia. A questão, portanto, admite duas soluções.
Maratonas e progressões
Numa Maratona de Matemática, o número de questões é muito grande. O valor de cada questão é igual à sua posição na prova: 1 ponto para a questão 1, 2 pontos para a questão 2, 3 pontos para a questão 3, 4 pontos para a questão 4, …, 10 pontos para a questão 10, … e assim por diante. Joana totalizou 1991 pontos na prova, errando apenas uma questão e acertando todas as outras. Qual questão ela errou? Quantas questões tinha a prova?
Fica claro que a sequência de pontos segue a progressão aritmética (1, 2, 3, ..., n). Lembra-se da fórmula para calcular a soma dos termos de uma PA?
S = [n(n + 1)]/2
Joana teria mais do que 1991 pontos se não tivesse errado nenhuma questão, então a soma dos pontos das questões de 1 a n deve ser maior do que 1991.
[n(n + 1)]/2 > 1991
n(n + 1) > 3982
Como 63 * 64 = 4032, o valor de n que ultrapassa 1991 pontos é 63. Assim, havia 63 questões e Joana errou a questão 2016 - 1991 = 25. Se está se perguntando de onde veio esse 2016, é porque 63 * 64/2 = 2016. Sente que precisa revisar um pouco de progressões? Sem problemas, dê uma olhada neste post.
Desigualdades
Se x > 0, y > 0, x > y e z ≠ 0, então a única opção errada é:
(A) x + z > y + z
(B) x − z > y − z
(C) xz > yz
(D) x/z² > y/z²
(E) xz² > yz²
Seja uma equação ou inequação, podemos somar, subtrair, dividir ou multiplicar um mesmo fator a ambos os membros e conservar a vericidade da sentença. Por exemplo:
2 > 1
3 > 2 (somando 1)
6 > 4 (multiplicando por 2)
Se x > y, então x + z > y + z, como afirma a primeira equação, e x - z > y - z. Mas indo por esse raciocínio, todas as opções estão corretas! Opa, mas tem uma pequena exceção: se o fator multiplicativo ou divisor for negativo. Por exemplo:
2 > 1
-2 < -1 (multiplicando por -1)
Observamos que precisamos inverter o sinal para manter a vericidade da sentença, então não necessariamente xz > yz. Não precisamos nos preocupar com (D) e (E), pois qualquer número real elevado ao quadrado fica positivo. Bem, tecnicamente a questão não diz que z é real, mas essa é uma das coisas que podemos assumir implícitas nessas situações. Enfim, alternativa c é a errada.
Mais questões de treino
Por enquanto é só, mas no próximo post da série tem mais! Considere os seguintes exercícios para treinar até lá:
Survival of the fittest
Num deserto há cobras, ratos e escorpiões. Cada manhã, cada cobra mata um rato. Cada meio-dia, cada escorpião mata uma cobra. Cada noite, cada rato mata um escorpião. Ao final de uma semana, à noite, só restava um rato. Quantos ratos havia na manhã no início da semana?
Números inteiros
Qual é o menor número inteiro positivo N tal que N/3, N/4, N/5, N/6 e N/7 são números inteiros?
OBM 2011 - Manipulações algébricas
Qual é o valor da expressão 20112011² + 20112003² - 16 * 20112007?
A) 2 * 20112007²
B) 2 * 20112003²
C) 2 * 20112007
D) 2 * 20112003
E) 2 * 20112011²
OBM 2011 - Divisibilidade
Os inteiros positivos 30, 72 e N possuem a propriedade de que o produto de quaisquer dois é divisível pelo terceiro. Qual o menor valor possível de N?
A) 60
B) 30
C) 30 * 72
D) 360
E) 6
OBM 2011 - Cubos e mais cubos
Um cubo de madeira, pintado de vermelho, foi serrado em 27 cubos menores iguais e as faces desses cubos ainda não pintadas o foram de branco. Qual é a razão entre a área da superfície total pintada em vermelho e a área da superfície total pintada de branco?
A) 1:2
B) 1:1
C) 2:1
D) 1:3
E) 2:3
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