Revisão OBMEP - 2

Continuando de onde paramos no post anterior, mais questões fresquinhas para treinar até o grande dia da primeira fase da OBMEP!

Índice dos posts:

Revisão OBMEP - 1
Revisão OBMEP - 2
Revisão OBMEP - 3
Revisão OBMEP - 4

Cubos perfeitos

Quais os cubos perfeitos que dividem 9^4?

Note que 9^4 = (3²)^4 = 3^8. Assim, todo divisor de 9^4 é da forma 3^x, de forma que 0 <= x <= 8. Em outras palavras, queremos localizar as potências de 3 que são cubos perfeitos no intervalo solicitado.

- Como 3³ = 27, esse é o primeiro número;

- Veja que 3^6 = (3²)³ = 9³ = 729, então aí está o outro cubo perfeito;

- O próximo cubo perfeito é 3^9, mas ele é maior do que 9^4 e portanto não pode ser um divisor deste.

A esta altura talvez você tenha notado, mas se estiver com dúvidas e não fizer ideia de por onde começar uma questão, fatore. Quantos divisores tem um número? Fatore. Quais divisores ou múltiplos de um número satisfazem as condições? Fatore. Como montar um robô com utensílios de cozinha? Não faço a mínima ideia. Mas fatoração resolve pelo menos uns 20% e pode até matar a questão inteira.

Uma equação muito louca (hoje, na Sessão da Tarde)

Sobre a equação 2007x³ + 2006x² + 2005x = 0 é certo afirmar:

(a) Não possui raízes
(b) Tem 3 raízes reais distintas
(c) Tem 2 raízes iguais
(d) Tem apenas uma raiz real
(e) Tem 3 raízes positivas

Reescrevemos a equação como

x(2007x² + 2006x + 2005) = 0

Então uma solução trivial é x = 0. Quanto à segunda equação:

2007x² + 2006x = - 2005

Mas 2007x² > 2006x, pois todo quadrado perfeito é positivo. Então a única solução real é x = 0, alternativa a. Claro que você pode resolver a equação de segundo grau na marra, mas não é lá muito recomendável. Sim, ser preguiçoso pode ser bom às vezes.

Uma igualdade

Quais números naturais m e n satisfazem a 2^n + 1 = m²?

Lembre da máxima: na dúvida, fatore. Podemos reescrever a equação como

m² - 1 = 2^n
(m + 1)(m - 1) = 2^n

Então os dois termos (m + 1) e (m - 1) são potências de 2 cuja diferença é 2. O único caso em que isso ocorre é com m = 3, donde m + 1 = 2² e m - 1 = 2. Assim

2² * 2 = 2³

E isso nos leva a n = 3.

Soma alternada

Se S(n) = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + (-1)^(n + 1) * n, onde n é um inteiro positivo, então S(1992) + S(1993) é:

(a) −2
(b) −1
(c) 0
(d) 1
(e) 2

Note que

S(n) = (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + ... + (-1)^(n + 1) * n
S(n) = -1 + -1 + -1 + ... + (-1)^(n + 1) * n.

- Para n = 1992, podemos formar 996 pares de -1, então a soma será dada por 996 * -1 = -996.

- Para n = 1993, podemos formar 996 pares de -1 e sobra o último termo: (-1)^1994 * 1993, que dá 1993. Assim, a soma será 1993 - 996 = 997.

Somando S(1992) com S(1993) temos 997 - 996 = 1, alternativa d.

Os últimos divisores

Considere um número escrito na forma decimal X, Y, onde X e Y são algarismos diferentes de 0. Determine esse número, sabendo que X, Y é igual a 3/10 * (X + Y).

Primeiro vamos nos recordar da decomposição decimal. Todo número na base 10, da forma a1a2a3...an, pode ser escrito como a1 * 10^(n - 1) + a2 * 10^n + a3 * 10^(n - 1) + ... + an. De que forma vamos utilizar isso? Bem, note que

X, Y = XY/10

Decompondo o número XY, obtemos

X, Y = (10X + Y)/10

Agora basta comparar esse valor a 3/10 * (X + Y) e verificar a equação

(10X + Y)/10 = 3(X + Y)/10
10X + Y = 3X + 3Y
7X = 2Y

Um número multiplicado por 7 dá o mesmo produto que um número multiplicado por 2... tal produto deve ser o mínimo múltiplo comum (MMC) de 7 e 2, que é 14. Até porque a próxima possibilidade seria 28, mas 2 * 14 = 28, e 14 é um número de dois algarismos. Assim:

7X = 14
X = 2

2Y = 14
Y = 7

O número procurado é 2,7, portanto.

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A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5