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Revisão OBMEP - 1
Revisão OBMEP - 2
Revisão OBMEP - 3
Revisão OBMEP - 4
Idades
No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de sua avó. A soma dos anos de nascimento dos dois é 3844. Quantos anos Neto completa em 2006?
A) 55
B) 56
C) 60
D) 62
E) 108
Seja x a idade de Neto em 1994 e y a idade da avó em 1994, vale o seguinte sistema:
x = y/2 => y = 2x [1]
(1994 - x) + (1994 - y) = 3844 [2]
Aplicando [1] em [2]:
1994 - x + 1994 - 2x = 3844
3x = 144
x = 48
Portanto, em 2006, Neto terá x + 12 = 60 anos, alternativa c.
Amebas everywhere
Uma colônia de amebas tem inicialmente uma ameba amarela e uma ameba vermelha. Todo dia, uma única ameba se divide em duas amebas idênticas. Cada ameba na colônia tem a mesma probabilidade de se dividir, não importando sua idade ou cor. Qual é a probabilidade de que, após 2006 dias, a colônia tenha exatamente uma ameba amarela?
A) 1/2^2006
B) 1/2006
C) 1/2007
D) 1/(2006 * 2007)
E) 2006/2007
No 1º dia, a probabilidade de uma ameba vermelha se dividir é 1/2. No 2º dia, essa probabilidade vai para 2/3. No 3º dia, 3/4. Se só as amebas vermelhas se dividirem, no n-ésimo dia teremos uma probabilidade n/(n + 1) de que pelo menos uma ameba vermelha se divida. Como precisamos que no 1º dia uma ameba vermelha se divida E no 2º dia outra ameba vermelha se divida E assim por diante, até o n-ésimo dia, a probabilidade de que, após 2006 dias, a colônia tenha exatamente uma ameba amarela é
1/2 * 2/3 * 3/4 * ... * 2006/2007
Note que podemos juntar os termos em pares, nos quais o denominador de um cancela-se com o numerador do outro, e então repetimos o processo. Assim, o produto se reduz a 1/2006 * 2006/2007 = 1/2007. Alternativa c, portanto. Precisa de uma ajuda com probabilidades? Sem problemas.
Algarismos
Os algarismos a, b e c são tais que os números de dois algarismos aa, bc e cb são números primos e aa + bc + cb = (aa)². Se b < c , então bc é igual a:
A) 19
B) 17
C) 37
D) 29
E) 59
Veja os seguintes números na forma aa: 22, 33, 44 e 55. Notamos que todos são múltiplos de 11, pois aa/11 = a. O único caso em que isso não ocorre é, naturalmente, 11. Então concluímos que a = 11, e
11 + bc + cb = 121
bc + cb = 110
Pela decomposição dos números
10b + c + 10c + b = 110
11b + 11c = 110
b + c = 10
Quais são os pares (b, c) nos quais a soma é 10? Temos (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6). Note que 19 e 37 são números primos, mas 91 é múltiplo de 7. Portanto, b = 3 e c = 7. Consequentemente, bc = 37, alternativa c. Note que o problema utiliza um fato muito importante sobre números na base decimal, que embora simples aparece em várias situações. Dê uma revisada neste e outros assuntos no post sobre teoria dos números.
Um exercício algébrico
Observe que:
3² + 4² = 5²
3² + 4² + 12² = 13²
3² + 4² + 12² + 84² = 85²
Qual o menor valor possível da soma x + y com x, y inteiros positivos tais que 3² + 4² + 12² + 84² + x² = y²?
A) 289
B) 250
C) 425
D) 795
E) 103
Ora, se 3² + 4² + 12² + 84² = 85², podemos reescrever a expressão como ("passando o x para o outro lado"):
y² - x² = 85²
(y + x)(y - x) = 85²
Decompondo 85 em fatores primos:
(y + x)(y - x) = (5 * 17)²
(y + x)(y - x) = 5² * 17²
Daí temos as possibilidades
y + x = 17² e y - x = 5²
y + x = 5² * 17² e y - x = 1
y + x = 5 * 17² e y - x = 5
y + x = 5² * 17 e y - x = 17
O menor valor possível é 17², que vale 289. Alternativa a, portanto.
Função
A função real f, definida nos inteiros, satisfaz f(n) – (n + 1)f(2 – n) = (n + 3)², para todo n inteiro. Quanto vale f(0)?
A) -17
B) 0
C) 1
D) 2
E) 9
Neste tipo de questão, o mais seguro é pegar um valor de n que de algum modo o permita descobrir quanto vale a função para um valor qualquer. Por exemplo, veja o que acontece se n = -1:
f(-1) - 0 * f(3) = 2²
f(-1) = 4
... Bem, eu disse isso, mas neste caso em específico não precisamos usar o fato acima. Por quê? Vamos voltar ao problema. Vejamos o que acontece quando tentamos descobrir f(0):
f(0) - f(2) = 3²
f(0) = 9 + f(2)
E quanto a f(2)?
f(2) - 3 * f(0) = 5²
f(2) = 25 + 3f(0)
Opa, que legal, agora que já temos f(2) em função de f(0), basta substituir na primeira equação:
f(0) = 9 + 25 + 3f(0)
2f(0) = -34
f(0) = -17, alternativa a.
Mais questões
Aritmética verbal
As letras O, B e M representam números inteiros. Se O × B × M = 240, O × B + M = 46 e O + B × M = 64, quanto vale O + B + M?
A) 19
B) 20
C) 21
D) 24
E) 36
A digitadora
Esmeralda digitou corretamente um múltiplo de 7 muito grande, com 4010 algarismos. Da esquerda para a direita, os seus algarismos são 2004 algarismos 1, um algarismo n e 2005 algarismos 2. Qual é o valor de n?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Regra de platina
Platina é um metal muito raro, mais raro até do que ouro. Sua densidade é 21,45 g/cm³. Suponha que a produção mundial de platina foi de cerca de 110 toneladas em cada um dos últimos 50 anos e desprezível antes disso. Assinale a alternativa com o objeto cujo volume é mais próximo do volume de platina produzido no mundo em toda a história.
A) uma caixa de sapatos
B) uma piscina
C) um edifício de dez andares
D) o monte Pascoal
E) a Lua
Outra da Esmeralda
Esmeralda adora os números triangulares (ou seja, os números 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28…), tanto que mudou de lugar os números 1, 2, 3, …, 11 do relógio de parede do seu quarto de modo que a soma de cada par de números vizinhos é um número triangular. Ela deixou o 12 no seu lugar original. Que número ocupa o lugar que era do 6 no relógio original?
A) 1
B) 4
C) 5
D) 10
E) 11
Os primos manos
Dois números inteiros são chamados de primanos quando pertencem a uma progressão aritmética de números primos com pelo menos três termos. Por exemplo, os números 41 e 59 são primanos pois pertencem à progressão aritmética (41; 47; 53; 59) que contém somente números primos. Assinale a alternativa com dois números que não são primanos.
A) 7 e 11
B) 13 e 53
C) 41 e 131
D) 31 e 43
E) 23 e 41
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