Índice dos posts:
Revisão OBMEP - 1
Revisão OBMEP - 2
Revisão OBMEP - 3
Revisão OBMEP - 4
OBM 2011 - Divisibilidade
Os inteiros positivos 30, 72 e N possuem a propriedade de que o produto de quaisquer dois é divisível pelo terceiro. Qual o menor valor possível de N?
A) 60
B) 30
C) 30 * 72
D) 360
E) 6
Esta questão nos permite recordar alguns conceitos de divisibilidade com números inteiros. Em outras palavras:
N|72 * 30 [1]
72|N * 30 [2]
30|N * 72 [3]
- Da expressão [1], vemos que N precisa ser um múltiplo de 3. Então o menor valor possível é 3.
- Em [2], vemos que 30 * 12 = 360, e 12|360, então N = 12. De onde saiu esse 12 em primeiro lugar? Bem, todo múltiplo de 30 termina em 0, e o menor número que você pode multiplicar por 72 para chegar a um número que termine em 0 é 5. De fato, 5 * 72 = 360, e 360/30 = 12.
- O raciocínio em [3] é semelhante ao que fizemos em [2], de onde vem N = 5.
Então temos, isoladamente, os valores 3, 5 e 12. Para as 3 expressões serem verdadeiras, precisamos que N seja o menor múltiplo desses números. Como 12 é múltiplo de 3, basta multiplicar 12 por 5 e obtemos 60. Alternativa a. Se não tiver entendido, confira o próximo problema.
Qual é o menor número inteiro positivo N tal que N/3, N/4, N/5, N/6 e N/7 são números inteiros?
Esta questão é um tanto parecida com a acima, pois procuramos, em outras palavras, o menor múltiplo de 3, 4, 5, 6 e 7. Veja que todos são números primos, exceto 6 = 3 * 2. Nosso número procurado deve ter a forma
N = 2 * 3 * 4 * 5 * 7
Aí você pode dizer: "Tudo bem, você substituiu 6 por 2 * 3, mas onde foi parar o 3?". É simples, pela própria definição de número composto: lembre-se que um número composto é formado por um produto de números primos. Se 6 = 3 * 2, então concorda que um múltiplo de 6 deve ser, simultaneamente, um múltiplo de 2 e de 3? Logo, não precisamos repetir o 3 no produto.
Resolvendo a continha, temos N = 840.
Só para fixar, dê uma olhada neste problema do Project Euler. Aliás, parece estranho ficar indicando mais problemas, mas fica aí uma dica: se não tiver entendido uma vez, tente outro problema, e outro, e outro. Uma hora você vai ter que aprender! Isso é verdade em muitos textos matemáticos também, pois não raramente o leitor chega em um certo ponto no qual só quer mandar tudo para os ares (só para não utilizar outra expressão). Quando isso acontecer, procure outros materiais de estudo, tente arejar um pouco a cabeça e depois retorne.
Denise e Antônio jogam uma série de oito jogos, em que o vencedor da primeira partida ganha um ponto, o da segunda dois pontos, o da terceira quatro pontos, o da quarta oito pontos, e assim por diante, multiplicando por dois o número de pontos de uma partida para a outra. No final, Denise ganhou 31 pontos a mais que Antônio e não houve empate em nenhuma das partidas. Quais partidas Denise ganhou?
Notamos uma progressão geométrica (1, 2, 4, ..., 128) de razão q = 2. A soma dos termos é dada, através da fórmula da soma de uma PG, por
1 * (2^8 - 1)/(2 - 1) = 255.
Ora, como não houve empate e a diferença dos pontos é 31, basta resolver o sistema
x - y = 31
x + y = 255
Onde x é o número de pontos de Denise e y, os de Antônio. A partir disso obtemos x = 143. Há outras maneiras de prosseguir a partir daqui, mas não posso deixar de passar essa oportunidade para comentar sobre conversão de decimal para binário. Lembra da decomposição que fazemos para números na base 10? O mesmo vale para a base 2, como por exemplo o número 1010:
1010 = 1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 2^0 = 10
Um método muito prático de converter decimal para binário é utilizar uma tabela:
A) 60
B) 30
C) 30 * 72
D) 360
E) 6
Esta questão nos permite recordar alguns conceitos de divisibilidade com números inteiros. Em outras palavras:
N|72 * 30 [1]
72|N * 30 [2]
30|N * 72 [3]
- Da expressão [1], vemos que N precisa ser um múltiplo de 3. Então o menor valor possível é 3.
- Em [2], vemos que 30 * 12 = 360, e 12|360, então N = 12. De onde saiu esse 12 em primeiro lugar? Bem, todo múltiplo de 30 termina em 0, e o menor número que você pode multiplicar por 72 para chegar a um número que termine em 0 é 5. De fato, 5 * 72 = 360, e 360/30 = 12.
- O raciocínio em [3] é semelhante ao que fizemos em [2], de onde vem N = 5.
Então temos, isoladamente, os valores 3, 5 e 12. Para as 3 expressões serem verdadeiras, precisamos que N seja o menor múltiplo desses números. Como 12 é múltiplo de 3, basta multiplicar 12 por 5 e obtemos 60. Alternativa a. Se não tiver entendido, confira o próximo problema.
Números inteiros
Qual é o menor número inteiro positivo N tal que N/3, N/4, N/5, N/6 e N/7 são números inteiros?
Esta questão é um tanto parecida com a acima, pois procuramos, em outras palavras, o menor múltiplo de 3, 4, 5, 6 e 7. Veja que todos são números primos, exceto 6 = 3 * 2. Nosso número procurado deve ter a forma
N = 2 * 3 * 4 * 5 * 7
Aí você pode dizer: "Tudo bem, você substituiu 6 por 2 * 3, mas onde foi parar o 3?". É simples, pela própria definição de número composto: lembre-se que um número composto é formado por um produto de números primos. Se 6 = 3 * 2, então concorda que um múltiplo de 6 deve ser, simultaneamente, um múltiplo de 2 e de 3? Logo, não precisamos repetir o 3 no produto.
Resolvendo a continha, temos N = 840.
Só para fixar, dê uma olhada neste problema do Project Euler. Aliás, parece estranho ficar indicando mais problemas, mas fica aí uma dica: se não tiver entendido uma vez, tente outro problema, e outro, e outro. Uma hora você vai ter que aprender! Isso é verdade em muitos textos matemáticos também, pois não raramente o leitor chega em um certo ponto no qual só quer mandar tudo para os ares (só para não utilizar outra expressão). Quando isso acontecer, procure outros materiais de estudo, tente arejar um pouco a cabeça e depois retorne.
Partidas
Denise e Antônio jogam uma série de oito jogos, em que o vencedor da primeira partida ganha um ponto, o da segunda dois pontos, o da terceira quatro pontos, o da quarta oito pontos, e assim por diante, multiplicando por dois o número de pontos de uma partida para a outra. No final, Denise ganhou 31 pontos a mais que Antônio e não houve empate em nenhuma das partidas. Quais partidas Denise ganhou?
Notamos uma progressão geométrica (1, 2, 4, ..., 128) de razão q = 2. A soma dos termos é dada, através da fórmula da soma de uma PG, por
1 * (2^8 - 1)/(2 - 1) = 255.
Ora, como não houve empate e a diferença dos pontos é 31, basta resolver o sistema
x - y = 31
x + y = 255
Onde x é o número de pontos de Denise e y, os de Antônio. A partir disso obtemos x = 143. Há outras maneiras de prosseguir a partir daqui, mas não posso deixar de passar essa oportunidade para comentar sobre conversão de decimal para binário. Lembra da decomposição que fazemos para números na base 10? O mesmo vale para a base 2, como por exemplo o número 1010:
1010 = 1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 2^0 = 10
Um método muito prático de converter decimal para binário é utilizar uma tabela:
| 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Observe o que acontece quando "preenchemos" todas as colunas com 1:
| 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Temos o número 11111111, que é justamente o número 255 em binário. Além disso, 1 + 2 + 4 + ... + 128 é 255, como já vimos. Portanto, para um número n qualquer, vamos subtraindo de seu valor uma potência de 2 próxima até que a soma dos números marcados na tabela seja igual a n. Por esse método, 143 = 10001111 em binário, o que significa que usamos as potências 2^0, 2¹, 2², 2³ e 2^7. Portanto, Denise ganhou as partidas 1, 2, 3, 4 e 8.
Se precisar de ajuda com PA e PG, considere esta sucinta introdução.
OBM 2003 - Sequência oscilante
Considere a seqüência oscilante: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, .... O 2003º termo desta seqüência é:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Um modo de representar a sequência (cuidado com o trema, ein?) é
(n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 3, n + 2 , n + 1, n, n + 1, ...)
Onde n é o termo inicial. Note que a sequência começa a se repetir depois do 8º termo, então só precisamos nos preocupar com os termos até o 8º. Agora observe o 9º termo. Sabemos que o resto da divisão de 9 por 8 é 1, então é como se tivéssemos retornado à 1ª posição, correspondente a n. Similarmente, o 10º termo deixa resto 2.
Para visualizar melhor, imagine um círculo com 8 pontos, de forma que completamos uma nova volta cada vez que andamos um número 8k de pontos, considerando um inteiro k qualquer. Quando estivermos no 8º ponto e nos movermos ao próximo ponto, retornaremos ao ponto de partida, isto é, n. Essa é uma maneira intuitiva de se aproximar à aritmética modular, abordada com mais detalhes neste post sobre teoria dos números (muito útil aos fãs de olimpíadas).
Como o resto da divisão de 2003 por 8 é 3, então o 2003º termo é n + 2, ou seja, 3. Alternativa c.
OBM 2011 - Manipulações algébricas
Qual é o valor da expressão 20112011² + 20112003² - 16 * 20112007?
A) 2 * 20112007²
B) 2 * 20112003²
C) 2 * 20112007
D) 2 * 20112003
E) 2 * 20112011²
Se fizermos x = 20112003, concorda que x + 8 = 20112011 e x + 4 = 20112007? Assim, podemos reescrever a expressão como
(x + 8)² + x² - 16(x + 4) =
= 2x² + 16x + 64 - 16x - 64 =
= 2x²
O que corresponde a 2 * 20112003², alternativa b. E se tivéssemos escolhido como valor de x o número 20112011 ou então 20112007? Sem problemas. Por exemplo, x = 20112011:
x² + (x - 8)² - 16(x - 4) =
= 2x² - 16x + 64 - 16x + 64 =
= 2x² - 32x + 128 =
= 2(x² - 16x + 64) =
= 2(x - 8)²
Ou seja, 2 * 20112003², como já havíamos concluído.
Mais questões
OBM 1998 - O último dígito
Qual é o dígito das unidades do número 3^1998?(A) 1;
(B) 3;
(C) 5;
(D) 7;
(E) 9.
OBM 1997 - Outro de dígitos
O número N tem três algarismos. O produto dos algarismos de N é 126 e a soma dos dois últimos algarismos de N é 11. O algarismo das centenas de N é:(A) 2.
(B) 3.
(C) 6.
(D) 7.
(E) 9.
Quixajuba
A população de Quixajuba é formada por n pessoas que respeitam as seguintes leis:(i) Dentre quaisquer três pessoas existem pelo menos duas pessoas que não se conhecem;
(ii) Quaisquer duas pessoas que não se conhecem possuem exatamente duas pessoas conhecidas em comum.
Mostre que existe um inteiro k tal que n = 1 + k(k + 1)/2. Conclua que todas as pessoas têm a mesma quantidade de conhecidos. Observação: Suponha que se a pessoa A conhece a pessoa B então B conhece A.
Soma dos algarismos
O número abcde tem cinco algarismos distintos e diferentes de zero, cada um deles representado por uma das letras a, b, c, d, e. Multiplicando-se este número por 4 obtém-se número de cinco algarismos edcba. Qual o valor de a + b + c + d + e?
(A) 22
(B) 23
(C) 24
(D) 25
(E) 27
(B) 23
(C) 24
(D) 25
(E) 27
Superlotação
Os 535 alunos e os professores de uma escola fizeram um passeio de ônibus. Os ônibus, com capacidade para 46 passageiros cada, ficaram lotados. Em cada ônibus havia um ou dois professores. Em quantos ônibus havia dois professores?(A) 3
(B) 5
(C) 6
(D) 8
(E) 9
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