Teoria dos jogos

Uma aplicação muito interessante da matemática na Economia é a chamada teoria dos jogos, que tem tudo a ver com tomadas de decisões em um ambiente competitivo como o corporativo. Para começar, responda: qual é a dificuldade em escolher um carro? Basta ponderar os pontos positivos e negativos, de modo que não há nenhum fator externo influenciando sua escolha.

Mas considere agora que você está sendo perseguido e precisa urgentemente de um carro. E então? Deve escolher o mais próximo ou o mais veloz? E quanto ao consumo de gasolina versus a quantidade de combustível no tanque? Porém o mais importante na situação é: como fugir do perseguidor; o que ele espera que você faça? A teoria dos jogos está aí para analisar essa última questão.

Neste post não vou me aprofundar muito nas questões técnicas/abstratas da coisa, tanto que nem cito o fundamental equilíbrio de Nash, mas espero acender o interesse do leitor para esse fascinante estudo.

Introdução à teoria dos jogos

Chamamos de jogo uma situação na qual agentes econômicos — pessoas, empresas, governos... —, os jogadores, competem e/ou cooperam entre si seguindo uma estratégia para maximizar seus ganhos. Por exemplo, você quer montar uma nova empresa cujo mercado está praticamente dominado por uma gigante rival. Vale a pena oferecer preços mais baixos e serviços mais limitados apenas para garantir a outra parte do mercado? Quem garante que a empresa já estabelecida não vai impedir seus avanços?

A maioria das pessoas pensa em apelar à intuição e bom senso apenas, pois não é possível prever o que outro indivíduo fará. Se nem a psicologia é muito útil, por que a matemática seria? Bem, um camarada chamado John von Neumann pensava diferente. Em 1944, Neumann publicou um livro em conjunto com o economista Oskar Morgenstern que lançou as bases de sua teoria dos jogos, para modelar a lógica das situações.

Primeiro vejamos um caso para podermos aprofundar a discussão.

O dilema dos prisioneiros

Nosso ponto de partida é um jogo bem comum que talvez já tenha visto: o dilema dos prisioneiros. A polícia acabou de prender 2 suspeitos de um crime, mas não tem provas suficientes para condená-los. Nesse caso decide fazer uma proposta a cada um deles, de modo que podem ficar calados (cooperar) ou denunciar (trair) o outro suspeito.

- Se ambos cooperarem, cada um pega 1 ano de cadeia;
- Se ambos traírem, cada um pega 5 anos de cadeia;
- Se um cooperar e o outro trair, o que trair é liberado e o outro pega 10 anos de cadeia.

Além disso, estamos supondo que um não sabe da decisão do outro. A pena varia de acordo com o enunciado, mas a ideia é essa. De qualquer forma, considerando que cada prisioneiro quer minimizar seu tempo no cárcere, qual é a melhor estratégia?

Primeiro vamos definir os pagamentos, ou seja, os ganhos de cada jogador. Aqui a magnitude não importa, então podemos fazer o seguinte:

Ser liberado >> 4
1 ano de cadeia >> 3
5 anos de cadeia >> 2
10 anos de cadeia >> 1

A partir disso, elaboramos a forma normal do jogo, uma matriz com os pagamentos de acordo com as estratégias dos jogadores.

	Jogador 2 trai	Jogador 2 coopera
Jogador 1 trai	(2, 2)	(4, 1)
Jogador 1 coopera	(1, 4)	(3, 3)

À primeira vista parece mais vantajoso que ambos cooperem, certo? Mas considere que você é o jogador 1 e suponha que o jogador 2 escolha cooperar; nesse caso, o mais vantajoso é trair e ser liberado. Se o jogador 2 escolher trair, então é óbvio que o mais vantajoso também é trair. Então isso quer dizer que trair é a escolha mais racional, a estratégia dominante.

Como o jogador 2 vai pensar a mesma coisa, no fim das contas ambos pegam 5 anos de cadeia. Um resultado um tanto estranho, mas que faz sentido considerando os interesses individuais de cada jogador.

Uma discussão sobre o dilema dos prisioneiros

Diferentemente de como fazem a maioria dos autores, note que em nenhum momento eu especifiquei que os prisioneiros não podem se comunicar e firmar um acordo. Mas isso não muda tudo? Não, absolutamente nada. Ambos jogadores continuam sem saber o que o outro fará na hora H, então é irracional basear sua escolha em algo incerto.

Note também o uso da palavra racional. O elemento responsável por tornar possível deduzir a melhor estratégia é justamente o responsável pelas críticas à validade dessa teoria: os jogadores sempre são racionais e querem otimizar seus ganhos, mas na vida real é outra história. Fatores psicológicos influenciam bastante em nossas escolhas. E se o outro suspeito fosse seu melhor amigo? Certamente o dilema seria mais moral do que teórico.

Veremos nas próximas seções algumas abordagens sobre o assunto, explorando outros aspectos da teoria dos jogos.

O jogo do ultimato e racionalidade

Suponha que haja uma quantia de R$100,00 para ser repartida entre 2 jogadores. Um deles é chamado de líder, responsável pela distribuição, e o outro, receptor. O líder pode propor qualquer distribuição, mas o receptor decide se aceita ou não. Se aceitar, beleza, os dois saem com um dinheirinho extra. Se recusar, entretanto, a proposta é quebrada e o dinheiro some magicamente (talvez devido a uma divisão por zero).

Partindo da premissa que os jogadores querem maximizar seus ganhos, e preferem ganhar qualquer coisa a nada, então o resultado é bastante simples. Seja x um número real do intervalo [0, 100] escolhido pelo líder e f: [0, 100] -> {aceitar, recusar} uma função escolhida pelo receptor dependendo do valor de x, o líder deve escolher o menor valor de x tal que f(x) = aceitar.

Ora, como é preferível ganhar qualquer coisa a nada, e o líder sabe disso, basta que ele proponha a seguinte repartição: R$99,99 para ele e R$0,01 para o receptor. Mesmo o receptor estando insatisfeito, se recusar fica sem seu dinheirinho. Claro que nem eu nem você agiríamos assim na carne do receptor, mas... por que, se de fato é o mais racional a fazer?

Foram conduzidos experimentos reais em várias nações para verificar como as pessoas agiam, de forma que os receptores ficavam geralmente insatisfeitos com porcentagens consideradas injustas. Ora, qual é o problema em receber 20% e o outro 4 vezes mais, se 20 reais são melhor do que nada? Esse é o aspecto irracional da coisa, mas ainda assim é possível aplicar a teoria dos jogos aqui.

À primeira instância você provavelmente pensou em uma repartição 1:1, certo? Cada um fica com 50%, o que parece justo. Aí vem um matemático e diz que está sendo irracional, então a teoria dos jogos sofre de excesso de racionalidade e blablabla. Mas fazendo isso, estamos sendo perfeitamente racionais, pois é uma distribuição segura a fazer. Afinal, se o valor mínimo de x para que f(x) = aceitar é 50, então é apenas lógico que o líder escolha esse valor.

Uma coisinha para refletir: suponha que a quantia a ser distribuída seja desconhecida. Pode ser R$10,00, R$100,00, R$10000,00... e agora, não é mais vantajoso aceitar qualquer distribuição percentual? Afinal, se o líder ficar com 99% de R$10.000.000,00, há de se concordar que 1% de 10 milhões (100 mil trocadinhos) não é nada mal.

A teoria dos jogos na prática

Vemos uma situação muito parecida (mas não é a mesma) com o dilema dos prisioneiros em alguns programas de TV, como o reality show americano Bachelor Pad. Ao término do programa, os dois finalistas entraram em salas separadas e decidiram se queriam manter ou compartilhar o prêmio de US$250.000,00, de modo que

- Se ambos escolhessem manter, nenhum deles levaria nada;
- Se ambos escolhessem compartilhar, cada um ficaria com US$125.000,00;
- Se apenas um escolhesse compartilhar, este ficaria sem nada e o que escolheu manter receberia integralmente os US$250.000,00.

No programa, os finalistas optaram por compartilhar o prêmio e receber US$125.000,00 cada um. É uma falha na teoria dos jogos, ou uma prova de que o ser humano não é racional? Nem um nem outro, e explico por que. No dilema dos prisioneiros, trair sempre é a melhor opção, mas veja o que acontece aqui se você for o jogador 1:

- Se o jogador 2 escolher compartilhar, é melhor manter e receber o prêmio inteiro;
- Se o jogador 2 escolher manter, tanto faz se você mantém ou compartilha, pois não receberá nada.

É impossível determinar uma estratégia dominante, característica do dilema dos prisioneiros. Além disso, mesmo que você fique com o dinheiro todo, e depois? Muitos participantes de reality shows têm seus 5 minutos de fama na mídia, tendo ganhado ou não, dependendo de como se comportaram durante o programa. O que está em risco aqui não é apenas dinheiro, é a imagem, que será utilizada em outras situações.

Não fica bem ter a imagem de "traíra" depois de tudo pelo o que passou no programa, certo? Nesse caso, compartilhar é de fato a estratégia racional, pois é tudo uma questão de repetição. Nos jogos até aqui, consideramos cenários que ocorrem apenas uma vez e depois disso os jogadores nunca mais vão se encontrar novamente nem sofrer consequências.

Mas faz sentido que a cooperação ocorra em jogos repetitivos; no dilema dos prisioneiros, a traição não levaria a uma retaliação no futuro? Assim, um jogador racional tentaria ponderar as consequências com o prêmio imediato. Pense nisso.

Enfim a questão: para que serve tudo isso?

A teoria dos jogos permite discussões muito interessantes sobre a lógica das situações. Se estudar teoria dos jogos nos torna melhores jogadores é uma questão completamente à parte que ainda não podemos responder com certeza. Mas então é inútil? Aí eu pergunto: o que é útil para você? Pessoalmente, em nenhum momento neste blog pensei em apresentar a matemática como algo "útil", uma mera ferramenta.

Em outro post eu ensinei como calcular uma aproximação de pi usando o método de Monte Carlo; não por ser um método eficiente, que não é mesmo (aliás, qual é a utilidade em calcular trocentas casas de pi?), mas porque achei interessante e didático. Se isso vai levar à cura da AIDS eu não faço a mínima ideia, mas está aí para qualquer um que quiser aplicar.

Há opiniões bastante diversas de sujeitos muito mais confiáveis do que eu, então vou deixar este link aqui para os interessados, mas concordo com o professor Eilon Solan: a teoria dos jogos não é uma teoria arrebatadora que explica o que você precisa fazer em todas as situações, mas pode explicá-las de forma inteligente. Ela não inventa nada de novo em termos de estratégias, mas as reúne em um framework elaborado.

Você não precisa desenhar uma matriz com os pagamentos para resolver o dilema dos prisioneiros de maneira correta, mas a teoria dos jogos ajuda a tomar boas estratégias por meio desses pequenos insights. É a mesma coisa com a lógica matemática, que oferece ferramentas para apurar sua análise, porém certamente não resolve nenhum problema diretamente. Bem, se tudo falhar, você ainda pode impressionar seus amigos soltando um feitiço arcano como ∀ x ∈ R, (P(x) ^ B) <=> ¬(C v Q(x)).

Fontes

Teoria dos jogos
Teoria dos Jogos - textos diversos
O jogo do ultimato
Uso do Dilema dos Prisioneiros num Reality Show
MIT OpenCourseWare - Economic Applications of Game Theory
Game Theory (Stanford Encyclopedia of Philosophy)