Trago aqui algumas demonstrações bem interessantes que geralmente são introduzidas, embora tardiamente, quando se estuda teoria dos números e métodos de prova. A intenção não é apresentar demonstrações elegantes ou revolucionárias, mas com sorte o leitor consiga compreender melhor o potencial e o quão fascinante os números podem ser.
Definições básicas
Lembra dos axiomas que mencionei na introdução? Pois bem, antes de continuar precisamos estabelecer algumas definições importantes.
- Números racionais: são todos os reais que podem ser expressos como uma razão entre inteiros. Note que 2/3 é um número racional, mas pi/2.123451 não, por definição. Expressamos o conjunto dos racionais por Q.
- Números naturais: geralmente consideramos naturais todos os inteiros não-negativos, incluindo o zero. Em alguns contextos — vocês devem saber na ocasião — é conveniente excluir o zero desse conjunto. O modo de representar isso explicitamente é com a notação N* (todos os naturais menos zero).
- Paridade: todo número inteiro é par ou ímpar. Todo número par é um múltiplo de 2, ou seja, tem a forma 2a, sendo a um inteiro qualquer. Além disso, se o quadrado de um número é par, então o número é par. Todo número ímpar tem a forma 2b + 1, para qualquer inteiro b, ou ainda 2b - 1.
- Números primos: números que são divisíveis apenas por 1 e ele mesmo. Exemplos: 3, 5, 7, 11... (0, 1 e -1 não são primos).
- Números compostos: números que não são primos, excetuando-se 0, 1 e -1 (estes são números... digamos especiais, para não ofender os coitados).
√2 é irracional
À primeira vista parece problemático, pois não temos uma definição clara de número irracional, mas não é necessário. Imagine que você está em... sei lá, na antiguidade, quando todos acham que só existem números racionais. Você descobre √2 e não consegue expressá-lo como uma razão entre dois inteiros, mas quem vai acreditar nessa tolice? É suficiente, então, provar que tal número não é racional.
Suponha que √2 seja de fato um número racional. Então
a/b = √2
Sendo a e b inteiros quaisquer. Assuma também que a/b está em sua forma irredutível, ou seja, não se pode simplificar mais. Elevando os membros ao quadrado, vem
a²/b² = 2
a² = 2b²
Mas se o quadrado de a é par, então a é par, pelas definições acima (na verdade é possível prová-lo, tente!). Lembre-se que a/b está na forma irredutível, então b deve necessariamente ser ímpar. Desse modo, podemos substituir a por 2c, sendo c um inteiro qualquer. Consequentemente,
2c/b = √2
4c²/b² = 2
2b² = 4c²
b² = 2c²
Novamente, se o quadrado de b é par, então b é par. Não, espera, para tudo! Acabamos de determinar que b deve ser ímpar, então por que encontramos b sendo par? Chegamos a uma contradição lógica, e portanto concluímos que √2 não pode ser racional.
Há infinitos números primos (teorema de Euclides)
Como não há uma maneira simples de estipular que o conjunto dos números primos tem cardinalidade infinita, vamos novamente utilizar a redução ao absurdo, ou seja, provar que não podem haver finitos números primos. De que modo?
Suponha que existam k elementos no conjunto dos números primos: P = {p1, p2, ..., pk}, sendo p1 = 2, p2 = 3, e por aí vai. Agora suponha um número composto n tal que n = p1 * p2 * ... * pk + 1. Por mais bizarro que seja esse número, ele com certeza é divisível por algum primo; vamos chamar este primo de px, o qual encontra-se no conjunto P.
Se n é divisível por px, então existe algum inteiro a tal que
a * px = n
O que nos leva à seguinte expressão, lembrando que px também está no produto p1 * p2 * ... * pk:
a * px = p1 * p2 * ... * px * ... * pk + 1
Dividimos ambos os lados por px e desenvolvemos a equação:
a = (p1 * p2 * ... * px * ... * pk)px + 1/px
a = p1 * p2 * ... * pk + 1/px
a - (p1 * p2 * ... * pk) = 1/px
Agora... algo não parece um tanto estranho aí? Do lado esquerdo temos dois inteiros sendo subtraídos, o que resulta em um inteiro. Mas o número da direita definitivamente não é um inteiro! Assumir que existem finitos números primos nos leva a esta contradição. Portanto, só podem haver infinitos números primos.
Os números reais não podem ser enumerados
É um argumento um tanto estranho quando visto pela primeira vez, mas faz sentido. Aqui nossa estratégia continua parecida: vamos supor que exista uma lista ordenada infinita dos elementos entre 0 e 1. Se descobrirmos um elemento que não pertence à lista, isso quer dizer que é impossível enumerar os reais de 0 a 1. Por extensão, seria impossível enumerar os reais.
Para realizar tal proeza, considere uma lista com os reais de 0 até 1:
Caso não tenha ficado claro, cada um desses números a índice alguma coisa fazem parte da representação decimal dos números reais, sendo a11 o primeiro dígito após a vírgula do primeiro número, a23 o terceiro dígito após a vírgula do segundo número e por aí vai, até o infinito e além. Por que o negrito? Bem, é aqui que a "mágica" começa.
Suponha um número real r cuja representação decimal é
Mas tem um detalhe: faça r11 diferente de a11, r12 diferente de a22, r13 diferente de a33... Ao final, teremos um número real cujo primeiro dígito é diferente do primeiro dígito do primeiro número; o segundo dígito é diferente do segundo dígito do segundo número; o n-ésimo dígito é diferente do n-ésimo dígito do n-ésimo número. Ora, tal número não existe na lista ordenada dos números reais que fizemos.
Esta demonstração foi proposta por Georg Cantor em 1891, e é chamado de argumento de diagonalização de Cantor. O motivo você deve ter percebido, considerando os negritos "em diagonal".
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