O problema da bicicleta

Fonte.

Vamos discutir uma interessante amostra de como a matemática pode surgir em situações inesperadas do cotidiano. A seguinte carta foi enviada a Marylin vos Savant na coluna "Ask Marylin" da revista Parade; mesma coluna na qual ela resolveu o polêmico problema de Monty Hall, que pode ser conferido neste post sobre paradoxos em geral. Ao problema:

Um amigo e eu fomos da casa dele até a minha com uma única bicicleta. Eu comecei caminhando e ele pedalando na bicicleta. Quando ele chegou uns 2 quarteirões à frente, deixou a bicicleta na calçada e começou a andar. Quando eu cheguei à bicicleta, comecei a pedalar nela, ultrapassando meu amigo, e repeti o procedimento ao deixar a bicicleta 2 quarteirões à frente. Fizemos isso durante o percurso inteiro; às vezes um caminhava, e às vezes ambos caminhávamos. Estou certo de que foi mais rápido do que se se não tivéssemos bicicleta, mas algumas pessoas insistem que não foi porque alguém sempre estava caminhando. Quem está certo?

A resposta de Marylin foi que sim, o leitor estava certo — o que é de fato verídico —, mas vamos analisar o cenário mais cuidadosamente. Curioso? Não está convencido? Acha o problema mal formulado? Então continue lendo!

Entendendo o problema

Podemos compreender melhor a questão com algumas variáveis. Primeiro, vamos chamar os amigos de A e B. Assuma que ambos possuem as mesmas velocidades caminhando e pedalando: va e vp, respectivamente. Eles deverão percorrer n quarteirões até chegarem ao destino final — a casa de A. Não sabemos os valores de va e vp, mas se vp > va e não há outras variáveis interferindo, podemos adotar:

va = 1 m/s
vp = 2 m/s

Temos 2 cenários: um sem a bicicleta e o outro com a bicicleta, adotando a estratégia acima. Nosso plano de ação é analisar a velocidade média em cada um dos cenários e ver qual é mais vantajoso.

Cenário 1: sem bicicleta

Se ambos caminham com velocidade va durante os n quarteirões, então a velocidade média será:

A: (va + va + va + ... + va)/n = n * va/n = va
B: (va + va + va + ... + va)/n = n * va/n = va

Fica claro, então, que a velocidade média de ambos será 1 m/s. Vejamos o que acontece adotando a estratégia proposta pelos amigos.

Cenário 2: com 1 bicicleta

Primeiro, precisamos associar duas sequências associadas às velocidades de A e de B, chamemos SA e SB:

SA = (va, va, vp, vp, va, va, ...) =  (1, 1, 2, 2, 1, 1, ...)
SB = (vp, vp, va, va, vp, vp, ...) = (2, 2, 1, 1, 2, 2, ...)

Ou seja, cada um caminha 2 quarteirões e pedala em 2 quarteirões, durante n quarteirões. É importante ressaltar aqui que os estados não são simultâneos, isto é, enquanto A está com velocidade de 1 m/s, B pode muito bem estar com essa mesma velocidade. Vamos estudar melhor a sequência SA; primeiro, expandimos:

SA = (1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, ...)

Note que depois do 4º termo a sequência se repete. Como estamos lidando com repetições, podemos muito bem utilizar aritmética modular aqui (confira esta introdução a teoria dos números se não conhece) para calcular a soma das velocidades:

• Se n deixa resto 0 na divisão por 4:

No caso de 4 quarteirões, vemos que há 2 elementos "1" e 2 elementos "2". A soma é, portanto, 2 * 1 + 2 * 2. Se forem 8 quarteirões, multiplicamos tudo por 2. Se forem 12, por 3, se forem n, por n/4. Generalizando:

S = n/4(1 * 2 + 2 * 2) =
= n/4 * 6 =
= 6n/4 =
= 3n/2

Isso significa que a velocidade média é 3n/2 * 1/n = 3/2 = 1,5 m/s, evidentemente maior do que 1 m/s.

• Se n deixa resto 1, 2 ou 3 na divisão por 4:

Podemos imaginar, por exemplo, que a soma das velocidades com 5 quarteirões é composto pela soma da velocidade de 4 quarteirões + 1 m/s:

A = (1, 1, 2, 2, 1)
S = 6 + 1
S = 7 m/s

Quando for 6:

A = (1, 1, 2, 2, 1, 1)
S = 6 + 2
S = 8

Quando for 7:

A = (1, 1, 2, 2, 1, 1, 2)
S = 6 + 4
S = 10

Quando for 8, caímos no primeiro caso já previamente estudado. Podemos então generalizar:

S = [3n/2] + m

Onde m = 1, 2 ou 4, dependendo do resto da divisão de n por 4, e [x] representa a parte inteira de x (em outras palavras, estamos representando a divisão inteira de 3n por 2). Muito bem, então a velocidade média é dada por ([3n/2] + m)/n. Para comprovar o raciocínio do leitor, precisamos que esse valor seja maior do que 1:

([3n/2] + m)/n > 1
[3n/2] + m > n
m > n - [3n/2]

Se [3n/2] >= n for verdadeiro, então m > n - [3n/2] é verdadeiro, pois n - [3n/2] resultará em um número negativo ou zero. Como m = 1, 2 ou 4, qualquer valor servirá. Novamente, suponha que n seja par, da forma 2a para algum inteiro a, então

[3 * 2a/2] >= 2a
[3a] >= 2a
3a >= 2a
a >= 0

Portanto, n pode ser qualquer natural par da forma 2a. Agora suponha que n seja ímpar, da forma 2b + 1 para algum inteiro b, então

[3(2b + 1)/2] >= 2b + 1

Mas, por definição, a parte inteira de x, [x], é menor ou igual a x. Portanto, podemos substituir o primeiro membro por 3(2b + 1)/2 e preservar a desigualdade:

3(2b + 1)/2 >= 2b + 1
3(2b + 1) - 2(2b + 1) >= 0
2b + 1 >= 0
b >= -1/2

Mas sendo b um inteiro, a solução é b >= 0, o que significa que n pode ser qualquer natural ímpar da forma 2b + 1. Portanto, a velocidade média é sempre maior do que 1 m/s para qualquer natural n. É possível concluir o mesmo para a pessoa B, apenas alterando alguns parâmetros. Verifique por si próprio se estiver cético.

Controvérsias

Na página da coluna, a resposta gerou uma pequena polêmica nos comentários. Se o seu contra-argumento não se encaixar aqui mande um comentário, mas até agora eles se baseiam em pequenos erros de interpretação. Isso ressalta o fato de que boa parte de uma questão de matemática consiste em compreender a situação:

• A velocidade que conta é a menor: Não é verdade. Lembre-se que o amigo que pedala abandona a bicicleta em algum ponto e imediatamente começa a andar, sem esperar pelo outro. Tudo ocorre simultaneamente, então não faz sentido considerar apenas a velocidade menor.

• A velocidade média é maior pois envolve 2 pessoas, mas 1 pessoa é mais lenta que a outra: Basta ver minha resolução acima. A resposta leva em consideração a velocidade individual, não a de ambos.

• Não necessariamente ambos chegarão mais rapidamente: Concorda que 1 pessoa não caminhará no percurso inteiro, e portanto chegará mais rápido? E concorda que a outra pessoa também não, e portanto chegará mais rápido também? Pronto, matamos a questão a nível intuitivo. O "truque" aqui é analisar cada amigo individualmente.

• É desconsiderado o tempo em que a bicicleta fica parada: Não é não. O tempo em que a bicicleta fica parada está contida no intervalo de tempo total; não é como se depois do percurso precisássemos contar o tempo que a bicicleta fica parada.