x x x
x 2 x
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x 8 x
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x x 9 x 2 x
O que é criptaritmética?
Criptaritmética ou aritmética verbal abrange qualquer tipo de puzzle em que cada símbolo representa um dígito, e deve-se descobrir esses valores através de uma operação dada. Um dos mais conhecido, publicado em 1924 por Henry Dudeney, é o SEND + MORE = MONEY:
\begin{matrix}
& \text{S} & \text{E} & \text{N} & \text{D} \\
+ & \text{M} & \text{O} & \text{R} & \text{E} \\
\hline
\text{M} & \text{O} & \text{N} & \text{E} & \text{Y} \\
\end{matrix}
\begin{matrix}
& \text{S} & \text{E} & \text{N} & \text{D} \\
+ & \text{M} & \text{O} & \text{R} & \text{E} \\
\hline
\text{M} & \text{O} & \text{N} & \text{E} & \text{Y} \\
\end{matrix}
Em particular, os criptogramas que envolvem letras formando palavras e frases lógicas são denominados alfaméticos. Na verdade os primeiros criptogramas registrados são da China antiga, e também costumam ser encontrados em registros na Índia, durante a Idade Média. Mas esses tipos de criptogramas, geralmente chamados restaurações aritméticas, não costumam ser tão amigáveis quanto alfaméticos.
PS: O criptograma lá de cima é uma restauração aritmética. Tente resolvê-lo... se puder.
Como resolver um criptograma?
Não há um método bem definido para resolver um criptograma manualmente; é tudo questão de lógica e um pouco de tentativa e erro. Mas, em um ambiente pedagógico, pode-se levantar alguns tópicos de teoria dos números elementar — em especial bases numéricas e aritmética modular. Vamos tentar resolver o SEND + MORE = MONEY.
Primeiro, notamos que o maior número de 4 dígitos é 9999 — embora seja impossível, já que letras diferentes representam dígitos diferentes. Ora, como 9999 + 9999 < 2000, então o primeiro dígito da soma deve ser necessariamente 1. M = 1. Agora podemos olhar para a seguinte soma:
\begin{matrix}
& \text{c3} \\
& \text{S} \\
+ & \text{1} \\
\hline
\text{1} & \text{O}\\
\end{matrix}
Onde c3 é o número que "vem" da soma do lado (por exemplo, se a soma ao lado for 9 + 8, o resultado é 7 e "vai 1", então c3 = 1). Daí, decompondo o número 1O em 10 + O, temos:
S + 1 + c3 = 10 + O
S + c3 = 9 + O
Sabemos que c3 só pode ser 1 ou 0, pois a maior soma de dois números de 1 dígito é 9 + 9 = 18. Para c3 = 0:
S = 9 + O (1)
Para c3 = 1:
S = 8 + O (2)
A solução da equação (1) é S = 9 e O = 0, enquanto (2) admite as soluções S = 9 e O = 1 e S = 8 e O = 0. Mas já determinamos que M = 1, então O = 0. Vejamos o que temos até agora:
\begin{matrix}
& \text{c3} & \text{c2} & \text{c1} & \\
& \text{S} & \text{E} & \text{N} & \text{D} \\
+ & \text{1} & \text{0} & \text{R} & \text{E} \\
\hline
\text{1} & \text{0} & \text{N} & \text{E} & \text{Y} \\
\end{matrix}
Sabe-se que S + c3 = 10, mas qual é o valor de c3? Olhando para a soma ao lado, E + 0 = N, vemos que c3 = 1 acontece apenas quando E = 9. Mas aí N = 0, o que contradiz O = 0. Portanto, c3 = 0, resultando em S = 9.
Além disso, c2 só pode ser 1, pois caso contrário teríamos E = N. Daí podemos escrever
N = E + 1 (3)
Na coluna ao lado, vemos que
N + R + c1 = 10 + E (4)
Substituindo (3) em (4):
E + 1 + R + c1 = 10 + E
R = 9 - c1
É imediato que c1 = 1, já que R não pode ser 9. Portanto, R = 8. O resto fica como exercício ao leitor.
Ah, eu disse que não há um método definitivo para resolver criptogramas manualmente, mas e quanto aos computadores? Afinal, nossa amiga máquina é excelente em executar instruções repetidamente; com isso, podemos verificar as possíveis soluções uma por uma. E uma técnica que costuma ajudar nisso é o tal de backtracking. Aguarde por novidades no blog se estiver interessado nos aspectos computacionais da coisa!
Primeiro, saiba que há diversos tipos de criptogramas:
As possibilidades são infinitas, mas o importante é usar a criatividade e garantir desafio e diversão. Logo abaixo, e no primeiro site da lista de links ao final do post, você encontrará vários puzzles que podem dar algumas ideias. Sugiro também usar algum programa (ou fazer um você mesmo) capaz de resolver seus puzzles, apontando todas as soluções, se existirem. Vale a pena dar uma pesquisada sobre o assunto.
Primeiro, notamos que o maior número de 4 dígitos é 9999 — embora seja impossível, já que letras diferentes representam dígitos diferentes. Ora, como 9999 + 9999 < 2000, então o primeiro dígito da soma deve ser necessariamente 1. M = 1. Agora podemos olhar para a seguinte soma:
\begin{matrix}
& \text{c3} \\
& \text{S} \\
+ & \text{1} \\
\hline
\text{1} & \text{O}\\
\end{matrix}
Onde c3 é o número que "vem" da soma do lado (por exemplo, se a soma ao lado for 9 + 8, o resultado é 7 e "vai 1", então c3 = 1). Daí, decompondo o número 1O em 10 + O, temos:
S + 1 + c3 = 10 + O
S + c3 = 9 + O
Sabemos que c3 só pode ser 1 ou 0, pois a maior soma de dois números de 1 dígito é 9 + 9 = 18. Para c3 = 0:
S = 9 + O (1)
Para c3 = 1:
S = 8 + O (2)
A solução da equação (1) é S = 9 e O = 0, enquanto (2) admite as soluções S = 9 e O = 1 e S = 8 e O = 0. Mas já determinamos que M = 1, então O = 0. Vejamos o que temos até agora:
\begin{matrix}
& \text{c3} & \text{c2} & \text{c1} & \\
& \text{S} & \text{E} & \text{N} & \text{D} \\
+ & \text{1} & \text{0} & \text{R} & \text{E} \\
\hline
\text{1} & \text{0} & \text{N} & \text{E} & \text{Y} \\
\end{matrix}
Sabe-se que S + c3 = 10, mas qual é o valor de c3? Olhando para a soma ao lado, E + 0 = N, vemos que c3 = 1 acontece apenas quando E = 9. Mas aí N = 0, o que contradiz O = 0. Portanto, c3 = 0, resultando em S = 9.
Além disso, c2 só pode ser 1, pois caso contrário teríamos E = N. Daí podemos escrever
N = E + 1 (3)
Na coluna ao lado, vemos que
N + R + c1 = 10 + E (4)
Substituindo (3) em (4):
R = 9 - c1
É imediato que c1 = 1, já que R não pode ser 9. Portanto, R = 8. O resto fica como exercício ao leitor.
Ah, eu disse que não há um método definitivo para resolver criptogramas manualmente, mas e quanto aos computadores? Afinal, nossa amiga máquina é excelente em executar instruções repetidamente; com isso, podemos verificar as possíveis soluções uma por uma. E uma técnica que costuma ajudar nisso é o tal de backtracking. Aguarde por novidades no blog se estiver interessado nos aspectos computacionais da coisa!
Quer criar um criptograma?
Primeiro, saiba que há diversos tipos de criptogramas:
- Tradicionais: Envolvem operações de soma, subtração, divisão e multiplicação.
- Alfaméticos: Já citados. São os mais adequados para se introduzir devido ao seu caráter amigável, só tome cuidado para não acabar compondo alfaméticos super elegantes, mas que só podem ser resolvidos por computador. Confira mais dicas aqui.
- Bases numéricas: Estes já complicam mais as coisas. Podem envolver bases diferentes de 10 ou até mesmo que o solucionador descubra para quais bases é possível resolvê-lo.
- Quadrado mágico: Conhece o quadrado mágico? Pois bem, agora tente fazer um só com letras!
- Etc.
As possibilidades são infinitas, mas o importante é usar a criatividade e garantir desafio e diversão. Logo abaixo, e no primeiro site da lista de links ao final do post, você encontrará vários puzzles que podem dar algumas ideias. Sugiro também usar algum programa (ou fazer um você mesmo) capaz de resolver seus puzzles, apontando todas as soluções, se existirem. Vale a pena dar uma pesquisada sobre o assunto.
Quer mais criptogramas?
Aí vão amostras ilustrando alguns dos vários tipos de puzzles possíveis.
Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz. Quanto valem x, y e z?
Fonte: Desafio do site Só Matemática, disponível em http://www.somatematica.com.br/desafios/desafio11.php
Criptograma simples
Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz. Quanto valem x, y e z?
Fonte: Desafio do site Só Matemática, disponível em http://www.somatematica.com.br/desafios/desafio11.php
Outro alfamético
ARTE + ARTE = POETA
Fonte: Teste online do site Criptaritmética & Alfaméticos, disponível em http://criptaritmetica.awardspace.us/cripto_5.html
Um alfamético mais complexo
SIX + SIX + SIX = NINE + NINE + NINE
Fonte + resolução: http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/ALPHAMETIC/six+six+six=nine+nine
Base 11
Resolva o seguinte alfamético em base 11: UNITED + STATES = AMERICA.
Fonte (sem resolução): http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/ALPHAMETIC/
Qual é a base?
Há apenas 1 base numérica para a qual é possível resolver os seguintes criptogramas:
a) X + X + X = XX
b) XY + XX = XYX
Fonte + resolução: http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/ALPHAMETIC/
Matemática de loira
161 + 134 + 145 = 503
Mas que bruxaria é esta? Explique-a.
Fonte: http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/ALPHAMETIC/
Criptograma mágico
VV RE HR AH VE RL RV HE VR
Considerando um quadrado mágico de constante HEH, descubra o valor das letras.
Fonte + resolução: http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/ALPHAMETIC/magic-square-3
Fontes e links recomendados
Alphametics and Cryptarithms - Vários criptogramas criativos, alguns bem complicados, mas nem todos com resolução. Em inglês.
Criptaritmética & Alfaméticos - Site introdutório com um gerador de alfaméticos e alguns alfaméticos online. Tem um material muito bom para pais, professores etc. que quiserem criar seus próprios alfaméticos. Em português.
O Desafio de Substituir Letras por Números - Artigo mais voltado a professores tratando das competências desenvolvidas pela atividade. Em português.
Verbal arithmetic - Artigo introdutório da Wikipédia. Em inglês.
O Desafio de Substituir Letras por Números - Artigo mais voltado a professores tratando das competências desenvolvidas pela atividade. Em português.
Verbal arithmetic - Artigo introdutório da Wikipédia. Em inglês.
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