Hidrostática - o mistério da lata

Esta é uma exploração experimental e teórica de uma proposta muito disseminada em livros didáticos, mas que induz ao erro: a tal experiência da latinha com furos. A demonstração é muito interessante para ser feita em ambiente pedagógico e alia hidrostática à cinemática.

A experiência

A montagem é tão simples que é bem possível de ser realizada até mesmo se você tiver se esquecido totalmente do projeto e for fazer de última hora. Pega-se um recipiente com água, ou qualquer outro líquido, e realiza-se vários furos — em nosso exemplo, consideraremos 3. Na prática, normalmente se utilizam garrafas PET ou canos de PVC e talvez outros detalhes para aprimorar. Uma explicação mais detalhada da montagem pode ser encontrada aqui.

E pronto, aí está uma réplica da figura que você já deve ter visto por aí. Logo, os resultados devem ser os mesmos... certo?

Observações

Errado. E agora entramos em pânico: a teoria não condiz com a prática!

• Resultados esperados: Dos estudos em hidrostática, sabemos que a pressão total em um ponto dentro de um líquido é expresso pela soma da pressão atmosférica com a pressão local. E a pressão local é dada por p = dgh, onde d é a densidade do fluido, g a aceleração da gravidade e h a altura do ponto em relação à superfície. Ora, se a pressão aumenta conforme a profundidade, então parece óbvio que o ponto mais inferior alcance a maior distância.

• Resultados experimentais: Na verdade, o jato d'água que percorre a maior distância deve ser proveniente do orifício médio. E, se os outros orifícios forem equidistantes desse orifício médio, então eles atingem distâncias próximas. Uma representação um pouco mais realista — eu sei que meus rabiscos não têm nada de realista, mas você entendeu — seria a seguinte:

Aplicando a cinemática

Vamos considerar a situação de um furo apenas e analisar a trajetória do jato d'água proveniente.

Como se vê na ilustração acima:

X - A distância horizontal percorrida pelo jato;
h - A distância entre o fundo do recipiente e o furo;
H - A distância entre o fundo do recipiente e a superfície da água.

Como temos um lançamento horizontal, sabemos que o movimento horizontal segue um movimento retilíneo uniforme, enquanto o movimento vertical segue um movimento retilíneo uniformemente acelerado. Assim, podemos escrever

$$ X = v_l \times t_q\ $$

Sendo \(v_l\) a velocidade de lançamento e \(t_q\) o tempo da queda.

Cálculo da velocidade

Pelo princípio da conservação de energia, a energia potencial gravitacional armazenada durante o repouso é convertida em energia cinética utilizada em movimento:

$$ \begin{align*}
mg(H - h) &= \frac{mv_l^2}{2} \\
v_l &= \sqrt{2g(H - h)}
\end{align*} $$

PS: Estamos adotando como nível de referência a superfície do líquido; a distância entre esta e o ponto é dada por H - h.

Cálculo do tempo de queda

Novamente, como é um lançamento horizontal, o movimento vertical segue um movimento retilíneo uniformemente acelerado. Note também que o jato d'água encontra-se inicialmente em repouso, então a velocidade inicial é zero.

$$ \begin{align*}
Y = h - \frac{gt_q^2}{2} \\
0 = h - \frac{gt_q^2}{2} \\
t_q = \sqrt{\frac{2h}{g}}
\end{align*} $$

Por fim, cálculo da distância horizontal

Substituindo os valores da velocidade e tempo na fórmula da distância:

$$ X = 2 \sqrt{h(H - h)} $$

O gráfico que expressa a distância em função de h é uma parábola voltada para baixo, de modo que o valor máximo se dá quando h = H/2. Pode verificar no Wolfram Alpha.

Conclusões

Portanto, vemos que o ponto com maior pressão não necessariamente possui o maior alcance: é tudo uma questão do posicionamento do ponto em relação ao ponto médio. Além do mais, orifícios equidistantes do orifício médio possuem o mesmo alcance. Mas nem tudo está perdido! Recorde-se da expressão para a velocidade:

$$ v_l = \sqrt{2g(H - h)} $$

O valor máximo é atingido quando h = 0, ou seja, a velocidade aumenta quanto maior for a profundidade do ponto. Isso sim condiz com nossa intuição à respeito da influência da pressão no fenômeno.

Como contornar a situação

Note, entretanto, que a análise acima é válida quando o nível de referência do solo coincide com o nível do fundo do recipiente. Mas e se suspendermos o recipiente a uma altura \(Y_0\) do solo? Refazendo as contas, eventualmente chegamos à conclusão de que o alcance máximo se dá para

$$ h = \frac{H - Y_0}{2}$$

Opa, isso é interessante. Significa que quanto maior for a distância do recipiente ao solo, menor será a altura máxima. Ou seja, basta fazermos \(Y_0 = H\) para manipular as coisas ao nosso favor e aí as coisas funcionam perfeitamente!

Outras sugestões experimentais de hidrostática

Confira neste post outras experiências de hidrostática legais de fazer. Se procura por sugestões de experiências simples de modo geral, sem problemas! Dê uma olhada nestas 3 propostas.

Fontes

O furo da lata d'água
Paradoxo da lata furada - Feira de Ciências
Paradoxo da lata furada/complementação - Feira de Ciências
Uma questão em hidrodinâmica