Cinemática - Questão resolvida da OBF

Vamos aplicar as ideias que desenvolvemos no post "Hidrostática - o mistério da lata" para resolver uma questão de cinemática que caiu na segunda fase da Olimpíada Brasileira de Física, em 2007. Também adiciono algumas observações no final do post aos interessados (ou não) na OBF.

Pré-requisitos

Você não precisa ter lido o post anterior, mas ele oferece um aprofundamento maior — até porque muitos dos cálculos iniciais já foram desenvolvidos nele. De qualquer forma, a questão pode ser resolvida com os conhecimentos básicos de cinemática e do conceito de conservação de energia.

A questão

Dois pequenos orifícios de áreas iguais são feitos, um acima do outro, em uma garrafa PET cheia de água, como pode ser observado na figura 2. Sabe-se que a distância entre o orifício superior e a superfície da água é h, e que a distância entre os orifícios é D. Estabelecendo o sistema de coordenadas Oxy no furo inferior, determine as coordenadas (\(x_e, y_e)\) do local de intersecção entre os dois fluxos de água. Despreze todos os efeitos dissipativos e de turbulência da água. Considere também que o fluxo de água é tão lento que a altura h não varia durante o tempo de observação.

Resolução

Primeiro vamos estabelecer algumas variáveis:

\(x_s, y_s\) - Distância horizontal e vertical, respectivamente, percorrida pelo jato do orifício superior.
\(x_i, y_i\) - Distância horizontal e vertical, respectivamente, percorrida pelo jato do orifício inferior.
\(v_s, v_i\) - Velocidade de lançamento do jato superior e inferior, respectivamente.
\(t_s, t_i\) - Tempo de queda do jato superior e inferior, respectivamente.

Note que o ponto de intersecção se dá quando

$$ \begin{align*}
x_e = x_s = x_i \\
y_e = y_s = y_i
\end{align*} $$

Então seria bom ter um modo de isolar \(x_e\) na segunda igualdade entre \(y_s\) e \(y_i\). Primeiro, como é um lançamento horizontal, valem as seguintes equações:

$$ \begin{align*}
x_s &= v_s t_s \\
y_s &= D - \frac{g {t_s}^2}{2}
\end{align*} $$

Podemos escrever o tempo em função da distância, de modo que a expressão final para a distância vertical fica, para ambos os orifícios:

$$ \begin{align*}
y_s &= D - \frac{g}{2} { \left( \frac{x_s}{v_s} \right)}^2 \\
y_i &= - \frac{g}{2} { \left( \frac{x_i}{v_i} \right)}^2
\end{align*} $$

Basta substituir as distâncias horizontais por \(x_e\) e você encontrará... um pequeno caos matemático. Tire as crianças da sala, porque o negócio pode ficar feio se não tomar cuidado com as contas:

$$ \begin{align*}
D - \frac{g}{2} { \left( \frac{x_e}{v_s} \right)}^2 &= - \frac{g}{2} { \left( \frac{x_e}{v_i} \right)}^2 \\
\frac{g}{2} { \left( \frac{x_e}{v_s} \right)}^2 - \frac{g}{2} { \left( \frac{x_e}{v_i} \right)}^2 &= D \\
\frac{g {x_e}^2}{2} \left( \frac{1}{{v_s}^2} - \frac{1}{{v_i}^2} \right) &= D \\
\frac{g {x_e}^2}{2} \left( \frac{ {v_i}^2 - {v_s}^2 }{ {v_i}^2 {v_s}^2 } \right) &= D \\
{x_e}^2 &= \frac{2D}{g} \frac{{v_i}^2 {v_s}^2}{ {v_i}^2 - {v_s}^2 } \\
x_e &= v_i v_s \sqrt{ \frac{2D}{g} \frac{1}{ {v_i}^2 - {v_s}^2 } }
\end{align*} $$

Se você pensa que a expressão acima ficou feia, imagine se tivéssemos substituído os valores das velocidades antes! Por isso vamos fazê-lo agora. Pelo princípio da conservação de energia, a energia potencial gravitacional (tomando como nível de referência a superfície de água) transforma-se em energia cinética, daí:

$$ \begin{align*}
v_s &= \sqrt{2gh} \\
v_i &= \sqrt{2g(h + D)}
\end{align*} $$

Substitua na expressão de \(x_e\) para encontrar

$$ \mathbf{x_e = 2 \sqrt{h(h + D)}} $$

Calma campeão, quase lá. Tendo o valor da distância horizontal, enfim podemos calcular

$$ \mathbf{y_e = -h} $$

Análise

Este é um ótimo exemplo de aplicação de conceitos simples — lançamento horizontal e conservação de energia —, mas que podem modelar situações interessantes e complexas. A ideia básica não é difícil, apesar de exigir algum insight inicial, mas as coisas saem fora do controle facilmente. Por isso, é bom ter estes tópicos em mente:

Compreensão: Antes de qualquer coisa, é muito importante identificar os fenômenos envolvidos na situação e quais conceitos serão úteis. Inicialmente pode ser tentador pensar em hidrostática, mas trata-se de um fenômeno que diz respeito ao movimento do jato apenas. Isso inclusive leva ao erro comum de imaginar que o jato inferior atinja uma distância maior, o que não é necessariamente verdade.

Organização: Registre as variáveis logo no topo, verifique seus passos, arrume as expressões e equações da maneira que sejam mais simples. Pode parecer besteira, mas poupa muito tempo a longo prazo e evita erros bobos por causa de nomes errados, sinais invertidos etc.

Planejamento: Tenha um plano inicial bem definido, em contraste à atitude comum de "ir calculando qualquer coisa e improvisando no caminho". Você com certeza não vai querer perder tempo e sua saúde mental enfrentando milhares de infernos algébricos que não dão em nada.

Álgebra, maldita álgebra: Para não cair nas armadilhas, simplifique o que for possível e evite expandir as expressões a não ser que seja estritamente necessário. Planeje em avanço seus passos, como já foi dito. E, acima de tudo, espere até o último momento possível para começar a substituir os valores.