A matemática além do ensino médio

A matemática pode não ser uma ciência no sentido rigoroso, mas seus fundamentos nos permitem concretizar uma variedade de coisas interessantes — desde resolver problemas desafiadores a aplicar sua teoria em algum campo na prática. Há muitos tópicos legais fora do currículo tradicional que merecem uma olhada, mesmo se você não for o maior fã da matemática; ou melhor, especialmente se não for.

Trago aqui uma lista com alguns desses assuntos, posicionando primeiro os que considero mais interessantes e acessíveis ao estudante comum. Claro que todos têm seus méritos de alguma forma, mas alguns têm uma curva de aprendizado maior ou parecem menos atraentes/úteis (só parecem, e espero que com o tempo o leitor perceba isso também).

Lógica matemática

• O que é: A lógica matemática é um modo sistemático de expressar uma cadeia de raciocínio. Por exemplo, suponha que comprar uma fruta estragada é algo ruim. Maçãs são frutas. Portanto, comprar uma maçã estragada é ruim. Podemos organizar o raciocínio na forma de símbolos e verificar por que a lógica é válida. Desse modo, é possível deduzir novas informações a partir de alguns conhecimentos previamente conhecidos como verdadeiros.

• Por que aprender: Embora exijam apenas raciocínio lógico, muitos problemas podem ser facilitadas por meio de estratégias sistemáticas, como tabelas e linguagem simbólica. De fato, usamos a lógica informal diariamente em diversas situações, nem que seja em argumentos com os amigos; apenas não a estruturamos de forma rigorosa. Como incentivo extra, a OBMEP gosta de propor questões de raciocínio lógico e ele é desejável caso queira se aprofundar em demonstrações matemáticas e/ou computação.

• Onde aprender: Você pode aprender a teoria básica nesta aula ou neste capítulo do livro Book of Proof, mas o importante é saber aplicá-la. Dê uma olhada nas provas da OBMEP para isso.

Fractais

• O que são: Os fractais são figuras muito peculiares por serem autossimilares — cada parte é semelhante à figura original — e formarem padrões bem interessantes, como pode ser observado acima. São formados através de processos iterativos: montamos uma função e calculamos seu valor para algum valor inicial; pegamos esse valor e botamos na função novamente, e assim sucessivamente, até onde quisermos.

• Por que aprender: Por que são legais pra caramba, podendo ser inclusive utilizados na arte e na música para aplicar os padrões a composições originais e imprevisíveis. E finalmente põe em uso aqueles números complexos.

• Onde aprender: Se quiser uma boa base teórica, este link e este (em inglês) são um bom início. Para um maior foco nas aplicações, não deixe de conferir estes slides. Já fiz um post sobre o assunto aqui.

Demonstrações matemáticas e indução

• O que são: Os métodos de prova são artifícios usados pelos matemáticos para provar que um teorema é verdadeiro ou falso, bem como o Princípio da Indução Finita. Se quisermos demonstrar que a raíz de 2 é racional, o mais simples é mostrar que não pode ser racional; tal estratégia é denominada demonstração por contradição, sendo uma das muitas técnicas de prova.

• Por que aprender: Tudo bem, o teorema está provado e você sabe como funciona, mas de onde exatamente veio aquilo? Como você pode fazer o mesmo? Além do mais, uma boa introdução deve familiarizá-lo com o mundo matemático e desenvolver a dita maturidade matemática.

• Onde aprender: O Book of Proof é uma ótima introdução.

Teoria dos números

• O que é: "A Matemática é a rainha das ciências, e a Teoria dos Números é a rainha da Matemática" — grande mestre Gauss. A teoria dos números estuda, como você deve ter suposto, as propriedades dos números e as relações entre eles. Conceitos como MDC, MMC e números primos são estudados aqui, mas muito além do visto no ensino fundamental.

• Por que aprender: Porque Gauss mandou. Há muitos problemas interessantes em teoria dos números que exigem muito além da clássica aplicação de um procedimento ou fórmula. Embora alguns tópicos sejam mais complicados e exigirem uma segunda ou terceira leitura para se entender, vale muito a pena pois desenvolve a maturidade matemática e sua capacidade de resolver problemas. E, claro, aparece com frequência nas olimpíadas.

• Onde aprender: A lista de sites é infinita, mas pessoalmente gosto da imersão olímpica e, se quiser algo mais leve, esta sucinta introdução. Confira um pouco do assunto no meu post sobre teoria dos números.

Teoria da computação

• O que é: As bases teóricas sobre as quais constroem-se o computador ou aparelho móvel que você está utilizando neste exato momento: algoritmos, complexidade, teoria dos grafos, máquinas de estados finitos etc. Como o computador "pensa"? Como podemos usá-lo para resolver problemas, ou seja, conversar em sua linguagem? Está tudo aqui.

• Por que aprender: A computação não é apenas uma aplicação da matemática, mas também uma valiosa ferramenta. Além de auxiliar em problemas e implementar algoritmos, de forma geral escrever um programa é bastante parecido com resolver um problema matemática. De fato, um programa É uma solução a um determinado problema.

• Onde aprender: Você pode começar por estas aulas do MIT ou, para algo mais prático, este post sobre lógica de programação. Se possível, confira minha introdução à análise de algoritmos.

Teoria dos jogos

• O que é: Uma aplicação da matemática à economia, analisando situações consideradas "jogos", nos quais competem ou colaboram jogadores que buscam otimizar seus ganhos. Podemos associá-los a um jogo convencional como o jogo da velha, um jogo com 2 jogadores que desejam preencher uma linha, coluna ou diagonal com seu símbolo. Claro que o melhor a se fazer é bloquear a vitória do jogador oponente durante a maior parte do jogo. No primeiro movimento, entretanto, o ideal é tomar o centro. Vê como podemos definir estratégias para garantir a vitória?

• Por que aprender: A teoria dos jogos é toda sobre estratégias e análise da lógica das situações. Ela pode nos ajudar a tomar decisões mais racionais através do estudo de situações bem interessantes, como o clássico dilema dos prisioneiros. Alguns tópicos mais avançados exigem noções de economia e cálculo, entretanto, razão pela qual este estudo está em último.

• Onde aprender: Há uma lista de links interessantes em meu post sobre teoria dos jogos.