Questões resolvidas de raciocínio lógico

Lembra-se das questões de raciocínio lógico propostas neste post? Pois bem, vamos resolver algumas delas, caso tenha ficado preso e precise de ajuda. Ou simplesmente queira ver uma solução potencialmente diferente, abordando aspectos que você não percebeu e tornam o problema mais fácil ou difícil. Qualquer dúvida, contestação, piada, causo ou fofoca, envie um comentário.

Xadrez com fichas

Resolução da questão 1 - Fichas no tabuleiro. Este veio de uma olimpíada de matemática, mas não precisa ficar com medo. A primeira coisa importante a notar é que a estratégia adotada não importa aqui. Você pode mover a peça mais próxima à primeira linha e a mais afastada primeiro, ou as duas mais próximas, ou as duas mais afastadas... o que importa é que você precisa, de alguma forma, levar todas à linha mais abaixo.

Mesmo assim, compensa tentar resolver configurações mais simples. Considere 2 fichas em um tabuleiro 2 por 2:

Fica claro que você precisa de 1 movimento, mas as regras só permitem 2 movimentos por vez. Agora 3 fichas em um tabuleiro 3 por 3:

Agora você pode mover as fichas A e B no primeiro turno, realizando dois movimentos, mas o terceiro movimento é inválido. Só seria possível trazer A para baixo se houvesse outra ficha na mesma linha; nesse caso não seriam 3 movimentos no total, mas 4. A esta altura você deve ter percebido que em qualquer configuração, o número total de movimentos é par.

Fica aí a dúvida: com 10 fichas, o total de movimentos é par ou ímpar? Veja que o total de movimentos é a soma dos movimentos necessários para cada ficha individualmente:

Ficha na 2º linha: 1 movimento
Ficha na 3º linha: 2 movimentos
Ficha na 4º linha: 3 movimentos
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Ficha na 10ª linha: 9 movimentos

1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45 movimentos no total, um número ímpar. Ora, sabemos que esse número de movimentos é inválido. Portanto, é impossível fazer o proposto para 10 fichas.

Complementar para resolver

Resolução da questão 2 - O desafio dos 8 dígitos. Por natureza, esta é uma questão de tentativa e erro, mas é possível rearranjar o problema inicial para que ele fique mais fácil. E se tirarmos as conexões originais e as substituirmos pelas conexões que não existiam antes? Por exemplo, o círculo do topo não está conectado ao círculo mais inferior na configuração original, então vamos conectá-los na nossa configuração. Em teoria dos grafos, isso é chamado grafo complementar:

Note que, se sobrepormos o grafo complementar ao grafo original, obtemos uma configuração na qual cada círculo está conectado a todos os outros círculos.

Você concorda que agora o problema foi invertido? Ao invés de os círculos vizinhos não poderem ser sucessores ou antecessores uns dos outros, agora os círculos vizinhos precisam ser sucessores ou antecessores uns dos outros. Contudo, a mesma configuração que resolve o problema complementar também resolve o problema original, já que os círculos são os mesmos e só mudam as conexões entre eles.

Perceba, por exemplo, que os 2 círculos do meio só podem conter 1 e 8, pois eles estão conectados a apenas um outro círculo e 1 e 8 só possuem um sucessor e antecessor, respectivamente. A partir daí, eventualmente se chega a:

Ou alguma rotação/reflexão dela.

As premiadas

Resolução da questão 3 - Prêmios da feira. Um dos passos mais importantes antes de resolver a questão em si é notar o seguinte: dados dois números quaisquer, a diferença entre eles não muda se adicionarmos ou subtrairmos a mesma quantidade de ambos. Por exemplo, 4 - 2 = 2. Isso não muda quando adicionamos 2 aos dois: (4 + 2) - (2 + 2) = 6 - 4 = 2.

Agora considere quatro números a, b, c, d, de tal forma que a > b > c > d. Assumimos que d = 0 e daí vem a = 6, porque a maior diferença ("Eu tenho seis a mais do que você") logicamente só pode ser a diferença entre o maior e o menor número. Como foi dito, a diferença entre dois números não muda se adicionarmos a mesma quantidade a ambos, então assumimos o menor valor possível para d e depois vamos tentar somar com alguma quantidade.

No total, 27 prêmios foram ganhos, então:

a + b + c + d + 4x = 27
6 + b + c + 0 + 4x = 27
b + c + 4x = 21

O x é justamente a quantidade que somamos a cada um dos membros para obter os valores corretos (são 4 membros, então x é somado 4 vezes). A partir daqui é pura tentativa e erro, sabendo que 0 < c < b < 6, mas um possível raciocínio é o seguinte:

b + c + 4x = 21
4x = 21 - (b + c)

Para o lado direito ser um múltiplo de 4, podemos ter, por exemplo, b + c = 1. Só que não é possível obter essa soma pelas condições do enunciado, então vamos tentar b + c = 5. Disso obtemos b = 4 e c = 1, que é possível pelas condições do enunciado. Então descobrimos o valor de x:

4x = 21 - 5
4x = 16
x = 4

Portanto, a sequência "primordial" é

6 > 4 > 1 > 0

Somando 4 a todos os membros obtemos a sequência procurada

10 > 8 > 5 > 4

Bernice é a única pessoa que ganhou exatamente um prêmio a mais do que outra garota, então ela é a garota que ganhou 5 prêmios.

O gênio dos chapéus

Resolução da questão 4 - Um de chapéus coloridos. Como o nome indica, problemas do tipo são bem comuns e costumam aparecer em qualquer lista de raciocínio lógico, então não poderia deixar de incluir na minha. Vejamos por rodadas o que se passa na cabeça de cada um dos alunos, e como esse raciocínio acumula-se até o último:

- Primeiro aluno: Claramente, se todos os outros estiverem usando chapéus brancos, o primeiro aluno seria capaz de facilmente adivinhar que ele só pode ter o chapéu preto. Não é o caso, então pelo menos um deles está usando um chapéu preto.

- Segundo aluno: Ele só precisa olhar para o terceiro e quarto alunos. Se ambos estiverem usando chapéus brancos, ele está usando o chapéu preto; do contrário, o primeiro aluno saberia responder. Não é o caso, então pelo menos um dos dois tem um chapéu preto.

- Terceiro aluno: Considerando o raciocínio do segundo aluno, e o fato de ele não ter sido capaz de responder, há duas possibilidades: ou ele e o quarto aluno usam chapéus pretos, ou um deles usa chapéu preto e o outro branco. Se o quarto aluno estiver usando um chapéu preto, ele pode estar usando um chapéu branco ou preto; senão, ele só pode estar com o chapéu preto.

- Quarto aluno: Finalmente, o quarto aluno não foi capaz de responder, então ele só pode estar usando um chapéu preto.

Também seria possível montar uma tabela com algumas configurações e verificá-las uma por uma, mas seria bem mais trabalhoso.

Frutas e mais frutas

Resolução da questão 6 - Laranjas e maçãs. É evidente que não adianta muita coisa investir na primeira ou segunda caixa, que podem ter maçãs, laranjas ou os dois, fato que não saberemos retirando apenas uma fruta ao acaso. Entretanto, sabendo que todas as caixas estão etiquetadas de forma errada, a última caixa contém apenas laranjas ou maçãs. E quanto às outras? Basta trocar as etiquetas de lugar, pois elas estão incorretas!

Suponha, por exemplo, que haja laranjas e maçãs na primeira caixa, só laranjas na segunda e só maçãs na terceira. As etiquetas indicam "laranjas", "maçãs" e "laranjas e maçãs", respectivamente. Ao retirarmos uma fruta da terceira caixa, saberemos que a ela corresponde a etiqueta "maçãs". Mas sabemos que a primeira caixa está etiquetada incorretamente, então a ela atribuímos a etiqueta "laranjas e maçãs". Resta apenas a etiqueta "laranjas" à segunda caixa.

Partidas de torneio

Resolução da questão 7 - O torneio de vôlei. Você pode até montar um esquema de jogos na sua cabeça, mas a questão é: no que consiste um "mata-mata"? Na primeira partida, uma equipe é obrigatoriamente eliminada; na segunda, outra; na terceira mais uma... até que na n-ésima partida, reste apenas uma equipe. Ou seja:

Após 1ª partida: 128 - 1 = 127 equipes
Após 2º partida: 128 - 2 = 126 equipes
.
.
Após n-ésima partida: 128 - n = 1 equipe

Fica claro, portanto, que n = 127 partidas. Agora atente ao enunciado: "Considerando que a dupla Douglão e Robervaldson ficou em terceiro lugar"... Mas qualquer uma das duas equipes que enfrentaram as equipes vencedoras do primeiro e segundo lugares, nas partidas que antecedem a final, poderia ficar em terceiro. Concluímos que deve ter havido uma partida adicional para definir o terceiro lugar e portanto houve 128 partidas.

Aprendendo a somar

Resolução da questão 8 - Somas malucas. Como a maioria desses problemas de raciocínio que surgem em correntes de e-mail, este aqui exige um insight básico para perceber um certo padrão. Que padrão é esse, no nosso caso? Vejamos:

5+3+2 = 151022

Note que 15 = 5 * 3, 10 = 2 * 5 e 22 = 15 + 10 - 3. Parece ser válido, mas será que se aplica aos outros?

9+2+4 = 183652

Tem-se 18 = 9 * 2, 36 = 9 * 4 e 52 = 18 + 36 - 2. Fica ao cargo do leitor testar as outras somas se quiser. Enfim, generalizando para quaisquer números:

a + b + c = def

Onde:

d = a * b

e = a * c

f = d + e - b

Portanto, 7 + 2 + 5 = 143547. 

Três irmãs

Resolução da questão 10 - Por último, uma clássica de lógica. Este desafio de lógica em particular é bem simples, então não precisamos invocar explicitamente conceitos de lógica matemática. Ana não mente, então não pode ser nem a de azul nem a de branco. Agora que sabemos que Ana é a de preto, a sentença "Cláudia é quem está de branco" é com certeza verdade. Resta apenas Maria, cujo vestido é azul. Alternativa B, portanto.